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重要 例題 33 (相加平均) (相乗平均)と最大 最小
〔類 九州産大]
り,xyとx=
(1)x>0のとき, x+
16
x+2
の最小値を求めよ。
これは正しい
(2)x0,y>0 とする。(3x+2y) (12/2
3
+2) ・
の最小値を求めよ。
・基本 32
は存在しない。
ない限り, 等号店
があるときは必
指針 最小値であるから, (1) であれば,x+ ≧□ ･･･ ① となる□を求めることになる。
よって、例題 32 と同様に (相加平均) ≧ (相乗平均) を利用して, 不等式①を証明
するつもりで考える。
(1)では, 2つの項の積が定数となるように, 「x+2」 の項を作り出す。
(2) では, 式を展開すると 積が定数となる2つの項が現れる。
16
x+2
成り立つ。
(1) x+
16
x+2
=x+2+
m
16
x+2
-2
解答
等号成立
16
よう。
により
x+2
x>0より x+20であるから, (相加平均(相乗平均)
16
x+2+ ≥2(x+2). =2.4=8
TRANS
x+2 を作り出す。
2
x+2
2)の不等式
ゆえに
x+
16
x+2
≥6
16
の証明
等号が成り立つのは, x+2=
のときである。
x+2
16
このとき (x+2)²=16 x+2>0であるから x=2
したがって x=2のとき最小値 6
<x+2=
かつ
x+2
16
x+2+
=8
46
(2) (3x+2y)(+)-9+
6x+6+413+6 (1/1+1/2)
x+2
y
x
y
x
ゆえに 2(x+2)=8
として求めてもよい。
≥8
いはどこにある
x0,y>0より、10/20であるから,
(相加平均) ≧ (相乗平均) により
x
xy
+2
=2
y
x
Vyx
式 A の等号
よって
13+6(+)≥13+6-2=25
検討
3x+2y≥2√6xy
3
6
番号は ab=10
x
等号が成り立つのは,
上のときである。
x y
xy
y
x
ない。
の辺々を掛け合わせて
このとき x2=y2
とはない。
x0,y>0であるから x=y
したがって x=yのとき最小値 25
もうまくいかない (p.60
参照)。
である。
練習
③ 33
2
(1) α > 0 のとき, α-2+ の最小値を求めよ。
a+1
8 3
(2) a>0, b>0), (2a+3b)(
b
+ の最小値を求めよ。 (2) [大阪工大]
p.64 EX21
