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断化式と奴学的帰飛
例題 292
漸化式 an+1=pan+f(n) (カキ1)
a1=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列fant の一般項 anを求めよ。
第8章
考え方
解答1漸化式an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関
る関係式を作り,引いて,{an+1-an}に関する新化式を導く.
解答2 an に加える(または引く) nの1次式 pn+qを決定することにより,
と変ごき {an+ pn+q} が等比数列になるようにする。
解答1
an+1=3an+2n+3
: 0より、
an+2=3an+1+2(n+1)+3
2-0より,
O bn=an+1ーan とおくと、
bn+1=3bn+2,
のは①のnにn+1
を代入したもの
差を作り,nを消去
an+2-an+1=3(an+1- an) +2
する。
b=Q2-a=3a+2+3-a=11」
のより,
a2=3a」+2+3=14
α=3a+2 より,
より,
bg以=3(b,+1), bi+1=12
したがって,数列(bn+1} は初項12, 公比3の等比数列
だから,
bn+1=12-3"-1=4-3"
bn=4-3"-1
Q=-1
n22のとき,
12.3"-1=4·33"-1
=4-3"
n-1
n-1
an=ai+2b=3+(4·3*-1)=3+
12(3-1-1)
3-1
k=1
k=1
=6-3"-1_n-2=2·3"-n-2
n=1 のとき,a=2·3'-1-2=3 より成り立つ、
よって,
6-37-1=2-3-3^-1
=2-3"
n=1 のときを確認
an=2-37-n-2
解答2 p, qを定数とし, an+1+か(n+1)+q=3(an+pn+q) とおくと,a
an+1=3an+2pn+2q-p
もとの漸化式と比較して, 2カ=2, 2q-p=3 より, p=1, q=2| =3an+3pn+3q よ
おしたがって, an+ュ+(n+1)+2=3(a,+n+2), ai+1+2=6 | り, anキ1=3am+2pn
より,数列{an+n+2}は初項6, 公比3の等比数列
よって,antn+2=6·3"-1=2.3" より, an=2·3"-n-2 a=3
an+1+ pn+p+q
m
w
+2q-p
Focus
階差数列を利用して考える
注》例題291(p.515) のように例題 292 でも特性方程式を使うと,α=3α+2n+3 より,
出
となる。これより, an+1+n+=3(a,+n+3) な曲
順番になっていない
3
2
3
Q=-n-
2
5 ボで
と変形できるが, 等比数列を表していないので, このことを用いることはできない。注
お Oチ
ないロー
意しよう.(b.518 Column 参照)
(出等)
a,=2, an+1=2an-2n+1 (n=1, 2, 3, ……)によって定められる数列 {anl
292 について,
(1) 6,=an-(an+B) とおいて,数列(bn} が等止比数列になるように定数 α. B
の値を定めよ。
(2) 一般項 an を求めよ。
練習
(滋賀大)
