例題 55 図形と三角関数の極限
周の長さが1の正n角形 (≧3) において
(1)この正角形の外接円の半径をnの式で表せ。
(2)この正角形の面積Sをnの式で表し, limS" を求めよ。
思考プロセス
図を分ける
円に内接する正n角形
⇒中心と各頂点を結び, n個の二等辺三角形に分ける。
(1) OA₁sin ZA₁OM₁ = A₁M₁
In
を用いて表す
(2) Sn = AAOA, Xin
n を用いて表す
≪ReAction 三角関数の極限は, lim-
0+0
sin
= 1 を利用せよ 例題 54
解 (1) 正角形の隣り合う2つの頂点を
A1, A2, 外接円の中心を0とすると
A1
Act
2π
ZA₁OA₂
n
A1A2 の中点を M1 とすると,
△AOM は直角三角形となり,
M1
A2
A1
M₁
rn
まず、隣り合う2頂点と
外接円の中心とでできる
三角形について考える。
8300--%
2π
n
108) 大正大
0908)
ma
anil
Emil
coulte
OA1=rn, A1A2
1
n
Xeros) **
π
OA1 sin
=
= AM1 より
π
1
rn Sin
n
n
2n
1
よって
rn =
立
2nsin
出
n
(2) Sn = (½rm²³sin 277)
2
2
xn=
22
n
例題
54
1
2π
sin
2
π
4n² sin²
n
三角形の面積は1/2 besin A
n
2sin COS
π
π
COS
n
n
n
n
==
2
π
4n² sin²
π
4nsin
n
n
π
ここで,n→∞のとき
→ +0 であるから
S₁ = OM,
•A1A2Xn
1
π
2
rn COS
n
n
n
とてもよい。
n
π
n
1
π
1
lim cos.
lim Sn = lim
• COS
n
COSO
n→∞
π
4π
n
4π
sin
関
面積に近づく。
円周の長さが1である円