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思考プロセス
例題 119 絶対値記号を含む不等式とグラフ
次の不等式を解け。
(1)
x2x-3| ≦ x+1
(3) x-1|+|x|+|x+1|<-x+3
絶対値を含む
不等式
(2)||x-1|-3|<2
場合に分ける 場合分けして絶対値記号を外す [別解]
←
★★★☆
絶対値記号が多いと,計算が繁
図で考える2つのグラフの位置関係を考える。 [本解]
不等式 f(x) >g(x)の解y=f(x) のグラフが y=g(x) のグラフ)
(よりも上側にあるようなxの範囲
Action» 絶対値記号を含む複雑な不等式は,グラフの位置関係から考えよ
圓 (1) y=x^2-2x-3… ① とすると
y=(x-1)2-4
4
117
①のグラフとx軸の共有点のx
座標は,x2-2x-3=0より
3
(x+1)(x-3)=00121
10
1
3
よって
x=-1,3
ゆえに,y=|x2-2x-3| のグラ
7は右の図。
ここで, y=x2-2x-3のグラフ
と直線 y=x+1の共有点のx座標は
x2-3x-4=0
y=x2x-3は、
の式全体に絶対値記号が
付いているから,折り返
す方法でグラフをかく。
①のグラフのx軸より下
側にある部分を折り返す。
y=x2x-3と
y=x+1のグラフの共
有点を考える。
x²-2x-3=x+1 より
(x+1)(x-4)=0
よって x=-1,4
また,y=-x2+2x+3 のグラフと直線 y=x+1の
共有点のx座標は
-x'+2x+3=x+1 より x2-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
よって x=-1,2
求める不等式の解は,
y=|x²-2x-3| のグラフが,
直線 y=x+1 より下側にある
(共有点を含む)xの範囲である
から
x=-1,2≦x≦4
VA
y=x+1
0
234x
不等式に等号が含まれて
いるから, x=-1 を含
むことに注意する。
