88 第3章 図形
練習問題 13」
の
(1) 2直線 3+5y-2=0 と7ェー3y-2=0 の交点と点 (1.1) を通る直
線の方程式を求めよ.X
(2)a を実数とする. 直線 (a+2)+(2a-5)y-4a+1=0 はαの値に
よらず定点を通ることを示し, その定点の座標を求めよ. ×
精講
(1)は,もちろん実際に交点を求めてから直線の方程式を作ることも
できますが,ここでは前ページで説明した「直線束」の考え方を利
用してみましょう (2)も, αで整理すると直線束の形をしています。
解答
(1) 3.+5y-2=0 と 7x-3y-2=0 の交点を通る (7-3y-2=0 以外の)直
の情報を 不足なく持させる
線は
3x+5y-2+k(7x-3y-2)=0 ･･････ ①
と表すことができる. これが (1,1) を通るので,
6+2k=0 すなわち k=-3
これを① に代入すれば
3+5y-2-3(7x-3y-2) = 0 すなわち 9x-7y-2=0
コメント
2直線の交点を実際に求めると ( 1 ) となり、この点と(1.1) を通る
11
直線の式を求めても同じ結果が得られます.ただ,束の考え方を使えば,この
交点を求めることなく答えが得られるのがポイントです。
(2) 与えられた式をαで整理すると
(2x-5y+1)+α(x+2y-4)=0 ...... ②
この直線は,αの値によらず2直線 2-5y+1=0 •
x+2y-4=0
・③と
④の交点を通る. ③④を連立方程式として解けば
(x,y)=(21) となるので,②はαの値によらず定点 (2,1) を通る
コメント
これは②がαの値によらず成立する, つまり②がαについての恒等式とな
条件は、②をαの1次式と見たときの係数がすべて0になること、つまり③
るような (x,y) の値を求める問題であると見ることもできます.そのための
④が成り立つことです.
