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重要 例題 154 楕円と放物線が4点を共有する条件
0000
楕円x2+2y2=1と放物線4y=2x2 +α が異なる4点を共有するための、定
の値の範囲を求めよ。
2次曲線どうしの共有点の座標も、その2つの方程式を連立
させて解いたときの実数解であることに変わりはない。
楕円x2+2y2 = 1, 放物線4y=2x2+αはどちらもy軸に関し
て対称である。 よって、 2つの曲線の方程式からxを消去し
√2
√2
て得られるの2次方程式の実数解で,
<y<
の
2
2
数学1年)
解答
範囲にある1つのyの値に対して、xの値が2つ、すなわ
ち2つの共有点が対応することに注目。
x2+2y2=1,4y=2x2+αからx を消去して整理すると
4y'+4y-(a+2)=0
√2
x=1-2y
4y=2x2+αに代
る。
x2=1-2y2≧0から
Sys-
2
2
与えられた楕円と放物線はy軸に関して対称であるから, 2左の解答では、
つの曲線が異なる4つの共有点をもつための条件は,①が
√2. √2
2
<y<- で異なる2つの実数解をもつことである。
2
よって、 ①の判別式をDとし,f(y)=4y'+4y-(a+2) とす
ると,次の [1] ~ [4] が同時に成り立つ。
[1] D>0 [2] (√2) > 0 [3] √(√2) 20
√2
√2
[4] 放物線y=f(y) の軸について
<軸く-
2
2
次関数 Y=f(y))
ラフが
2
軸と異なる2つ
共有点をもつ条件と
読み換えて解いてい
(このような考え
は数学Ⅰ で学んだ
[1] 1/2=2°-4.{-(a+2)}=4(a+3)
+
D> 0 から a+3>0
よって a>-3
AS
2
√√2
[2]>0から2/0
ゆえに
a<-2√2
③
検討
[3] (√)>05 -a+2√2>0. a<2√2 ... 04²+4y-14
軸
2
[4] y=1/2は<-/1/くを満たす。
②~④の共通範囲を求めて
-3<a<-2√2
変形し,放物線
Y=4y'+4y-2と直
αが異なる2つ
有点をもつの
囲を求めてもよい。
④ 154
練習 2つの曲線 C: x-
G₁ = (x − 3232)² + y
は,正の定数kがどんな値の範囲にあるときか。
+y2=1とCz:x2-y2=kが少なくとも3点を共有する
[浜松医大 ]
p.620 EX
基本
