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重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 0000
f(x)=x-6x2+9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(a)を
めよ。
創立
指針 まず,y=f(x)のグラフをかく。次に,幅1の区間α≦x≦a+1
しながら、f(x) の最大値を考える。
基本213
をx軸上で左側から移
なお、区間内でグラフが 右上がりならM(α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a)
また,区間内に極大値を与える点を含めば,M(a) = (極大値) となる。
また期的に小を与える点を含むときは、バーバ(+1)となるとのあり
CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック
解答
基本例
0≤x<27
のときの
指針ます
を利
Cos
よな
f'(x)=3x2-12x+9
xC
1
3
...
[1] 区間の右端で最大
=3(x-1)(x-3)
f'(x) + 0
20
+
|極大
極小|
CHAI
解答
y
f'(x) =0 とすると
x=1,3
f(x)> 4
0
-最大
増減表から,y=f(x) のグラフは
図のようになる。
YA
y=f(x)|
[ [1] a+1 <1 すなわち α0のとき
4
3
M(a)=f(a+1)
[2]
[3]
=(a+1)-6(a+1)+9(a+1)
[4]
YA
a O 1
Na+1
[2] (極大値) = (最大値)
COS x =
Dyをt
=α-3a2+4
1
最大
4F
[2] a<1≦a +1 すなわち
a01
a 3a+1 x
0≦a <1のとき
y=0
a+1
M(a)=f(1)=4
-1
Oa1 3
I
次に, 2<α<3のとき f(a)=f(a+1) とすると
a+1
表は
a3-6a2+9a-a³-3a²+4
ゆえに 32-9α+4=0
[3] 区間の左端で最大
よっ
YA
-(-9)±√(-9)-4・3・4
9±√33
4F
よって d=
=
2.3
6
9+√33
2 <α <3 であるから, 5<√33<6に注意してα=
t=
60
a+1
[3] 1≦a<
9+√33
のとき M(a)=f(a)=α-6a²+9a
O
1 a 3
a
a+1
t=
![4]
9+√33
[4] 区間の右端で最大
≦αのとき
6
M(a)=f(a+1)=α-3a²+4
YA
以上から a< 0,
9+√33
4-71
6
≦a のとき M(a)=a-3a²+4;
0≦a<1のとき M (α)=4;
9+√33
1≦a<
6
のとき M(a)=α-6a2+9a
補羽
f(x)=r3-3r²-9rとする 反くりには
a
Lati
1
13
a
à+1
f(m) の最小値m(t) を求
