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スマｰ
の例
入の
※解
青
の2
※解
い
日入選程学
8
160
|練習
④92
解答
演習 例題 92 ロピタルの定理を利用した極限
(1) lim-
x→0
ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。
x-log(1+x)
x²
(1) は
指針 ロピタルの定理 (以下)は、 まず前提条件
lim
f(x) が不定形 (10) のとき
や
g(x)
また
0
また
f' (x)
lim
x-a g'(x)
(2) は
また
( 2 ) 分母・分子を微分した式の極限 lim-
x-00
(1) f(x)=x-log(1+x), g(x)=x2とすると
1
f'(x)=1-
1+x
したがって
f'(x)
lim
x-0 g'(x)
とすると
(1) lim
x→0
したがって
の不定形で (3)の0×(−∞)は変形するとの不定形になる。
(x²)'
もまた
な場合は,更に分母・分子を微分した式の極限を考える。
(e²x),
x-log(1+x)
x²
(2) f(x)=x^2,g(x) = ex とすると
lim
x-x0 g"(x)
lim
x→0
XC
-=lim
x→0
lim
X→∞
f'(x)
lim
x++0 g(x)
(2) lim
-=1 (有限確定値) ならば lim
-=lim
X→∞
x²
e²x
x→+0
x²
x+∞0 0²x (3) lim xlog x
x→+0
f'(x) = -
=1/1₁
x
f'(x)=2x,g'(x)=2e2x, f"(x)=2, g" (x)=4e²x
f" (x)
500
2
4e2x
=0
EXCOVE
x
1+x=lim 2 (1+x)=1/
2x
x→02(1+x)
2
1
x
1+x '(x)=2x
=0
x
-=lim
x→+0 1
x²
したがって limxlogx = 0
を確かめてから適用する。
(3) xlogx= logx であるから, f(x)=10gx,g(x)=1
1
g'(x)=-
1
(2) lim
20
1
x²
エール g(x)
x→+0
f(x)=1
lim(-x)=0
ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。
ex-e-x
x-sinx
x
x→0 x2
8
8
18
の不定形になる。このよう
00000
p.159 参考事項
|lim{x-log(1+x)}=0,
x→0
limx2=0
x→0
x→0であるから,
x=0の近くで考える。
X18
<lim
limx2=8, lime²x=8,
lim2x=∞, lim2ex = ∞
lim
f" (x )
g" (x)
f' (x)
g'(x)
X-∞
lim =8
x→+0 x
→
=1=>
=lim
x-a
=l
<lim logx= -8,
x→+0
(3) lilog 1
x+1
f(x)
g(x)
②86 f(x)=
EXER
③87 平均値
(1)
注意 ロピタルの定理は,
利用価値が高い定理である
高校数学の範囲外の内
容なので、 試験の答案とし
てではなく、検算として使
う方がよい。
(2) (1)
(2)
④88 関数
(1)
(2)
(3)
④89 (1
(2
HINT
