重要
例題
168 図形への応用 (2)
000
点Pは円x+y2=4上の第1象限を動く点であり,点Qは円x+y=16 上の第
る。また、点Pからx軸に垂線PHを下ろし, 点Qからx軸に垂線QK を下ろ
象を動く点である。 ただし, 原点0に対して,常に ∠POQ=90° であるとす
す。更に∠POH = 0 とする。 このとき, △QKHの面積Sはtanのと
指針
最大値をとる。
[類 早稲田大 ] 重要 165
△QKH の面積を求めるには, 辺KH QK の長さがわかればよい。 そのためには,点
Pと点Qの座標を式に表すことがポイント。
半径rの円x+y=y2上の点A(x, y) は,x=rcosa, y=rsina (a は動径 OA の
表す角)とおけることと,∠POQ=90°より,∠QOH=∠POH+90°であることに着目。
10P=2, ∠POH=0であるから, Pの座標は
(2 cos 0, 2 sinė)
0Q=4,∠QOH=0+90° であるから,Qの座標は
(4cos(+90°), 4sin (0+90°))
すなわち (4sin 0, 4cos0 ) ただし 0°<0 <90°
ゆえに 512KHQK=1/2(2cos0+4sind).Acos0
=2(2cos20+4sin Acos 0 )
YA
4
2
P
-4
K 0
H2 x
=2(1+cos20+2sin20)=2{v5sin(20+α) +1}| 三角関数の合成。
ただし, は sina=
1
2
COS α=
√5
√5
E
0° <α <90° を満
αは具体的な角として表
すことはできない。
またす。
0°<<90°から
(0°<) α <20+α<180°+α (<270°)
よって,Sは20+α=90°のとき最大値(5+1)をとる。
20+α=90°のとき
tan20=tan(90°-α)=
1
COS a
sinq=
COS α =
=2
tan a
sin a
ゆえに
2 tan
1-tan20
=2
よって tan20+tan0-1=0
tanについての2次方
程式とみてく。
<<90° より tan 0 0 であるから tan0=
1+√5
2
