教えてください

例題 5 極限の性質 (1) 数列{a}において, lim 2an +3 81U 3an +2 **** 第1 -=1 のとき, lima を求めよ. n→∞ (2) lim(√n+an+2-√n+2n+3)=3 が成り立つとき,定数a の値 n→∞ を求めよ. Fagol 考え方 (1) 条件式 lim →∞ 2an+3 3a,+2 805 =1 について,b= 2am+3 とおく. 3an+2 次に,「am をbm を用いて表す」, 「limb„=1 を利用する」の2点に着目する. (2)与えられた式の左辺を計算し,まず, 極限値をαを用いて表す. その極限値が3であることから,aの値を求めればよい. 与えられた式の左辺は,~∞の形になるので,分子の有理化をする.(p.24) 2an+3 舞合 (1) lim 11-0 2an+3 3an+2 1 ......① とする. bn= とおくと, 3an+2 (3an+2)bn=2a+3 b" とおいて, ここに注目して an (3b-2)an 3-2bn 3-2bn 800 a を b で表す. ・② 3bn-2 bn= とすると、 2/9 また①より、 lim bn=1 (3) 3 (左辺) = 0, 11-00 よって、 ② ③より lima=lim 3-26_3-2・1 5 (右辺) =1 3 n→ co 3b-2 3.1-2 より、矛盾するので, (2) lim(n+an+2-√n²+2+3) 2 1100 bn (n+an+2)-(n2+2n+3) =lim →∞ =lim 11-0 =lim √n+an+2+√2+2+3 (a-2)n-1 √n+an+2+√2+2+3 (a-2) lim an MAN 1 n 11-8 a 2 2 3 a-2 2 2 + +. 1 + n n n n よって, 極限値が3であるから, a-2 =3より,a=8 2 3 ∞∞の形なので, 分子の有理化をする. +8 8 の形なので, 分母,分子を n=m²)で割る。 200

何故rに絶対値がついているのですか？

例題 8 {r} の極限 (2) キー1 のとき, 極限値 lim n→∞ rn+1 22+1 を求めよ. 1 無限数列 33 **** [考え方 {r"}の極限は、の大きさで場合分けする。 r>1 と <−1 のとき,つまり, |r|>1 のとき,{r} は発散するが, {(-)}は0に収束する (>1のとき+1) ことを利用するとよい. 解答 (i) |r|<1 のとき < { r"}の極限〉 r>l limr"=8 n∞ N→∞ r=1 limr"=1 |r|<1 limr"=0 n→∞ r≦-1{r"} は振動 limr"=0 より, lim- n→∞ (ii) r=1のとき limr"=1 より (ii) |r|>1 のとき lim- n→ +1 =lim 001 p" +1 -=0 r0 0+10 24+1 mn+1 =lim →∞ rogn 1 "+12 1 < 1 より, lim 818 (4)=0 1.1 1 1+1 2 r=−1 のとき, r"+1=0 (nが奇数) となるので,キ-1 mn+1 したがって, lim r =lim +1 =1 1+() 分母,分子を ” で 割る. (|r|<1) r =r 1+0 心 よって, (i)~(Ⅲ)より, lim r"+1 (r=1) r(|r|>1) Focus |r|<1 のとき r”→0 (n→∞) n → |r|>1のとき (1) 0(n→∞) 注> ()については次のように考えてもよい. >1 のとき, lim|r"|=∞ より, lim- =0 であるから,(与式)=lim →∞ →∞ 11-8 10.(1+1)) r 第1章

漸化式で（3、4）の隣と消える形にする変形はどのようにしたら思いつけますか？

投稿が跨いでしまい申し訳ないです。 質問は一個目の投稿の3枚目の写真のピンクの蛍光ペンで線を引いてることについてで、ここに出題者の意図に合わない解答はダメと書いてあるのですが、今回の（3）の問題の解答（3枚目の写真の左下のアプローチのところの別解）で（1）、（2）の結果を使... 続きを読む

連立漸化式: 数列の剰余 35 自然数nに対して, 2つの数列{an},{bn} を a₁ =1, b₁ =4, An+1 = 2an + bn, bn+1 = 4an − br で定める. bn (1)an+1+tbn+1=k(an+tbn) がすべてのnについて成り立つよ うな tkの値が2組ある. その値 (11, k1), (t2, k2) を求めよ。 (2) a, b をn で表せ。 (3)an が16で割り切れるのはn=4のときだけであることを示せ 〔大阪医科大〕

4行目の恒等式はどこから出てきたんですか？

第2節 いろいろな数列 23 第1章 数列 答えよ。 めよ。 第2節 いろいろな数列 6 和の記号 of 数列には、これまでに学んだ等差数列, 等比数列のほかにも、いろいろなもの がある。ここでは、記号を使っていろいろな数列の和を求める方法を調べよう。 ・求めよ。 5 A 自然数の2乗の和 Link イメージ と 次のような1からnまでの自然数の2乗の和を求めてみよう。 S=12+22+32 +……………+n .... そのためには,次の恒等式を利用する。 k-(k-1)=3k2-3k+1 kに1からnまでを順に代入すると 10 k=1 k=2 Link 左辺だけ加えると 13−0°=3・12-3･1 +1 13-03 2°-13=3・22-3･2 +1 33-23 33-23=3・32-3・3 +1 k=3 資料 +) 3-(n-1) n3-03 15 k=n n-(n-1)=3•n2 -3 ・n +1 これらn個の等式の辺々を加えると n=3(12+22+32 +....+n²)-3(1+2+3+....+n)+n すなわち よって 20 すなわち n=3S-3.11n(n+1)+n 6S=2n3+3n(n+1)-2n=n(n+1)(2n+1) S=1mon(n+1)(2n+1) したがって1からnまでの自然数の2乗の和は、次のようになる。 1 +2 +32 +......+n2 =1/12n(n+1)(2n+1)

この問題で等比数列✖️等差数列なら最初のようにしようと思えるのですが、そうではなかったので思いつきませんでした。どのように考えればよいですか？

n k 1212(1/2)^ k=1 k2

数3の極限です 下線部のところで、たぶん「等比数列の和」が使われてると思うんですけど、「無限等比級数の和の公式」をつかってはいけないのはなんででですか？

60 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 00000 無限級数 (1-2)+(3-2)+(323-21)+ の和を求めよ。 p.54 基本事項 4.基本26 CHART & SOLUTION Hom C 無限級数 まず部分和 Sn この数列の各項は() でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから, 項の順序 を変えて和を求めてよい。 注意 無限 の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。 an 別解 無限級数 24, 20mがともに収束するとき n=1 n=1 00 解答 n=1 bm が成り立つことを利用。 n=1 n=1 初項から第n項までの部分和をS とすると (+++) (+ ++ S=(1+/+/3/3+ 1-(1)/1-(12) 1-1 =1 1 1- 2 lim S= -231-1-1/2 であるから,求める和は 1/2 12-00 別解 (1-1)+(1/3-2/2)+(1/2-2/2)+(1/2) 1 Σ3-1 n=1 n=1 -は初項1,公比の無限等比級数であり, 3 21/1は初項 1/2.公比 1/2の無限等比級数である。 ← S は有限個の和である から, 左のように順序を 変えて計算してもよい。 n→∞の [inf. → 0. 0 無限等比級数の収束条件は a = 0 または |r|<1 a n 公比について、1/31 12 <1であるから,これらの無 限級数はともに収束して、それぞれの和は このときは 1-r ←収束を確認する。 1 3 n=137-1 2 1 23 1 n=12n 3 1 |1|2 00 n=1 on-1 よって (3/12/28-1/2-1-1/2 PRACTICE 31° 次の無限級数の和を求めよ。 (1) (1+1)+(1/3+3)+(3/3+3)+ 32-2 33-22 34-23+.... (2) + 4 + 43

答えないのですがわかる問題だけでもいいので教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️数列です

入試直前特訓 数学B ~数列編~ II ame=4-2 (n=1,2,3,...)によって定まっていると 5 数列{a}が,条件 a ニー an+1 2 する.このとき, 次の問に答えよ. 3 an (1) すべてのnに対して2<a <3 であることを示せ. 1 (2)Xn = 3-an を求めよ. とおくとき、数列{x}の満たす漸化式を求めよ、また、その一般項 (3) 数列{a}の一般項を求めよ. 【 青山学院大学】

階差数列の質問です！ 2、3、5、9、17、⋯の一般項を求める時、緑の手前までは分かるのですが、緑の部分が何故そうなるのか分かりません。 画像2を参考にすると緑の部分は初項2、公比2、項数n-1になると思います。 良ければ教えて欲しいです。

(2) 与えられた数列の階差数列をとると, 1, 2, 4, 8, … となる. これは,初1, 公比2の等比数列だから 第n項は, 2-1 よって, 求める数列の一般項は, n≧2 のとき n-1 115 2+Σ2k-1=2+- 2"-1-1 2-1 -=2"-1+1 k=1 これは, n=1のときも含む. よって, 初項から第n項までの和は 119 【吟味を忘れずに n k=1 n n (2-1+1)=2-1+1 = k=1 2"-1 2-1 k=1 +n=2"+n-1 119

数学の数列の問題です なぜマーカーのところの部分は(2)であって(1)では無いのでしょうか

日本 例題 33 分数型の漸化式 (1) びま 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 @a=1, 1 1 =3n-1 an+1 an CHART & SOLUTION 00000 (2) an a1= an+1= 4' 3an+1 基本29 分数型の漸化式 逆数を利用 (2)漸化式の両辺の逆数をとると, と と定数項からなる式となる。 an+1 an その式において,b= = 1 an とおくと既知の数列の漸化式となる。 併合 (1) bn= とおくと an bn+1-bn=3"-1 n≧2 のとき n-1 bn b₁3-1 h=1 -19813°31 数列 {bm} の階差数列の 一般項が 3-1 a1 b=1=1から 3-1-1 3-1+1 bn=1+ 3-1 60=1であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって a₁= 2 an= 3-1+1 (2) ≠0, および漸化式の形から、 すべての自然数n に対して αn≠0~となる。 漸化式の両辺の逆数をとると ← n=1 とすると 1 Aabr 30+1=1 2 α」 ≠0 なのでαz=0, α 0 ならば α≠0 以下同様に考えて、 α 0 であることがい える。 1 3an+1 an+1 an =3+ an b an an+1 とおくと b1=4であるから、 したがって an bn+1=bn+3 bn=4+(n-1)・3=3n+1 1 3n+1 ◆初頭by 14. 公差3 01 の等差数列。