礎問
108 面積 (IV)
mを実数とする.
放物線y=x2-4.x +4 ...... ①, 直線y=mx-m+2...... ②
について,次の問いに答えよ.
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ.
(2) ①,②は異なる2点で交わることを示せ.
(3) ①,②の交点のx座標をα, B(a<B) とするとき,①,②で囲
まれた部分の面積Sをα, β で表せ.
(4)Sをmで表し, Sの最小値とそのときのmの値を求めよ.
精講
S
(1)37 ですでに学んでいます。 「mの値にかかわらず」とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます。
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します.
(3) 106ですでに学んでいますが,定積分の計算には101 (2) を使います.
(4)21 (解と係数の関係) を利用します。
解答
(1) ②より m(x-1)-(y-2)=0
電について整理
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0,y-2=0
異なっていても定
(弐)-(下
よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(1,2)
(2) ①,②より,yを消去して,
x2-4x+4=mx-m+2
:.x²-(m+4)x+m+2=0
判別式をDとすると,
<D> を示せばよい
D=(m+4)2-4(m+2)
=m²+4m+8
YA
=(m+2)+4>0
よって、 ①と②は異なる2点で交わる.
(1)
2
(3)右図の色の部分がSを表すので
S=f" (mx—m+2)—(x²-4x+4)}dx
x
0
a 1
2
Bx
