例題 66 3 次の対称式の値
00000
3次方程式 x-3x+5=0の3つの解をα,B, rとするとき,a2+B2+y",
(Q-1) (B-1)(x-1), '+B'+yの値をそれぞれ求めよ。
p.95 基本事項 [2]
指針値を求める式はどれもα, B, yの対称式。 したがって, 2次方程式の場合と同様に,次の
方法で求めることができる。
解の対称式の値 3次方程式 ax+bx+cx+d=0の解α, B, r
1. 基本対称式 α+β+y, aβ+By+ra, aBy で表す。
2ax+bx+cx+d=a(x-a)(x-β)(x-y) の利用。
3. aa+ba'+ca+d=0 などの利用。
解答
3次方程式の解と係数の関係から
a+β+y=0,uB+βr+ya=-3, aβy=-5
ゆえに
'+B'+y=(a+B+y)-2(cB+B+ya)
1. の方法。
=02-2.(-3)=6
等式x-3x+5=(x-a)(x-B)(x-y) が成り立ち、この等式
の両辺にx=1 を代入すると
2. の方法。
13-3・1+5=(1-α) (1-B) (1-y)
よって (α-1) (B-1)(x-1)=-3
α, B, γはそれぞれx-3x+5=0の解であるから
a³-3a+5=0
B3-3β+5=0
ゆえに
a³-3α-5
y3-3y+5=0
ゆえに B3=3B-5
ゆえに 73=37-5
① ② ③ の辺々を加えて
3.の方法。
次数を下げる。
この問題では、3次から1
次に下げることができるの
で,有効である。
☑
a2+3+y=3(a+β+y)-15=-15
別解 [(α-1)(B-1)(x-1) の値を求める際の別解]
(α-1) (B-1)(x-1)
=aby- (aβ+By+ra)+(a+β+r)-1
=-5-(-3)+0-1=-3
別解 [a3+B'+r” の値を求める際の別解]
13+3+2-3aßy= (a+B+γ)(Q+B'+r-aβ-βy-ya)
であるから, α+β+y=0, aby=-5より
3+B'+y^-3 (-5)=0
すなわち α' +β'+y=-15
1. の方法。
この因数分解は重要。
1. の方法。
