も内
173
の
演習 例題
194 対数方程式の解の個数
00000
aは定数とする。 xの方程式 {10g2(x2+√2)}^2-210gz(x2+√2)+α=0の実数
解の個数を求めよ。
指針 前ページの演習例題 193 同様, おき換えにより, 2次方程式の問題に直す。
変数のおき換え 範囲に注意
log2(x2+√2)=tとおくと,方程式は
t2-2t+a=0
(*)
基本 183
2√2の値の範囲を求め,その範囲におけるtの方程式(*)の解の個
数を調べる。それには,p.239 重要例題 149 と同様, グラフを利用する。
なお、10g2(x2+√2)=t における x と tの対応に注意する。
SELECT
解答
log2(x2+√2)=t
$0.0> (Sargola) (1)
① とおくと, 方程式は
t²-2t+a=0 0218.0 1108.
2+√2≧√2であるから 215 21
>01.0
311
10
10gz (x2+√2) log√2
したがって
t≧
(2)
E
226 227 228 229 230 231 22 233 234
また,①を満たすxの個数は,次のようになる。
=1/2のときx=0の1個,
のとき x2>0であるから
2個
t2-2t+α=0から
Slant (1)
x2+√2=25より,
x2=2√2 であるから
t=1/2のとき x=0
1/1/3のときx>0
よって x=±√2-√2
-t2+2t=a
1
よって、②の範囲における,
直線 y=aを上下に動か
3
y=a
放物線y=-t2 + 2t と直線 y= a
4
a!
1
1
i
して、共有点の個数を調
べる。
の共有点の座標に注意して,
01
方程式の実数解の個数を調べると,
α>1のとき0個;
a=1, a<
a< 2 のとき2個;
-12
1
2
32
共有点なし。
<t> // である共有点1個。
4
a=
=2のとき3個;
-<a<1のとき4個
<a
1 3
t=
2
2
\t> である共有点2個。
