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2直線の交点の軌跡
や例題11
例題 113
が任意の実数値をとって変わるとき, 2直線 tx-y=t …………… 1,
オ+y=21+1 ② の交点Pはどんな図形を描くか。
………… の
2t?
よって,1の値が]つ定まると, 点(x, y)の位置が定まる。例題110
CHART つなぎの文字tを消去して, x,
で学習したよう。
yだけの関係式を導く
脂 交点Pの座標は、1×①+②, 1x②-①より, それぞれ P+1キ0 であるから
y=ア+1
7+1
オ=
方針が思い浮かぶが, ③, ①から!を消去するのは簡単なことではない
そこで、交点Pが存在するための条件を考えてみよう。 1個を1つ定める上
のが決まり,2直線 ①. ② の交点Pが定まる。例えば
2直
t=1 のとき x=2, y=1
であるから,点(1, 0), (2, 1) は求める図形上にある。これしを迎の視点で提え
2直線0, のの交点Pが存在するならば, ①, ② をともに満たすtが存在する
=0 のとき x=1, y=0
die)A
答 なりうる
[例1 点(0, 1)は2直線①, ② の交点になりうるか?
「t-0-1=t
0+t·1=2t+1
ということになる。具体的には 民群 大
t=-1
すなわち
t=2t+1
の, ②にx=0, y=1 を代入すると
例]2 点(2, 0) は2直線①, ② の交点になりうるか?
[t-2-0=t
この2式をともに満たす実数 t=-1が存在する。
なりえない
2t=t
すなわち
0, のにx=2, y=0 を代入すると
12+t-0=D2t+1
2=2t+1
この2式をともに満たす実数tは存在しない。
2直線0, 2の交点Pが存在するための条件は, 連立方程式O, 2 の解が存在するこ。
ある。よって,これを式で表すために, ①を満たすtが②の式を満たすと考え、①.0. 機
ら!を消去しx, yの関係式を導く。
なお,tを消去するため, ① をtについて解くときに xキ1とx=1 の場合分けが必要
なる。このため,求めた図形から「除外する点が出てくることに注意する。
1-A
アー2て
タ42,9=2 啓案 Pの座標を(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。
(x-1)=y
[1] xキ1 のとき
のから
じde,?
_y
t=-)
x-1
0 R
また,②から
x-1+t(y-2)=0
t=-を継
x-1
tを消去すると y-2)-0
VP
することから、
1 xキ1 と x=
x-1+
-=
分母を払って
x-1
(x-1)+y°-2y=0
(x-1)}+(y-1)}=1 . .
よって
場合に分ける。
xキ1 であるから, 点Pは円④から2点(1, 0), (1, 2) を除
いた図形を描く。
[2] x=1 のとき
ソ=0
このとき, ②から
(x=1 のときの
は除外する。
t=0
