数学Ⅲで扱う関数のグラフは,漸近線をもつものも多い。ここで,漸近線をどのよう
漸近線の求め方
して求めればよいかについて説明しておく。
[画 曲線 y=x+1+
ここで,
-x=1+
x→±∞のとき
x-1
直線y=x+1
に近づいていく。 これが漸近線の1つである。
また, x1±0のとき
したがって、
について
→0であるから曲線は
一般に,関数y=f(x)のグラフに関して,次のことが成り立つ。
① x軸に平行な漸近線
limf(x) =α または lim f(x) =α ⇒直線y=aは漸近線。
X-8
x-
② x軸に垂直な漸近線
lim f(x) =∞ または lim f(x) =∞ または lim f(x)=∞
xb+0
x→b+0
x→b-0′
lim f(x)=-∞
⇒直線x=b は漸近線。
xb-0
X
y →±∞ (複号同順)
直線x=1 も漸近線である。
軸に平行でも垂直でもない漸近線
lim{f(x)-(ax+b)}=0 または lim {f(x)-(ax+b)}=0
X→∞
ここで、③に関し, a, b は α=lim
より求められる。
Ital
[説明] 漸近線は, 曲線上の点P(x, f(x)) が原点から無限に遠ざかると
き,Pからその直線に至る距離PHが限りなく小さくなる直線である。
直線y=ax+bが曲線y=f(x) の漸近線で,Pからx軸に下ろした
垂線と,この直線との交点を N (x,y) とする。
PHPNは一定であるからPH→0のとき
PN=1f(x)-y|=|f(x)-(ax+b)|
= |x1|1(x)-a-1 |
b
⇒直線y=ax+6は漸近線。
f(x)
→0であるから
また, f(x)-(ax+b) →0であるから
なお、上の例の曲線では,x → ±∞のとき
x→±∞
9
435\>x>0
(020) (0)
→0(x→または-∞)
f(x)
b=lim{f(x)-ax} を計算することに
8
a → 0 すなわち
f(x) -ax→b
y=1+
x
1
f(x)
+
→ a
-
YA
または
O
0
ya
1,
1
- 1 であることからも, 直線y=x+1が漸近線であることがわかる。
x(x-1)
y=f(x)/
P (x, f(x))
Ⓒy=ar-i
H
N(x, J
