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基本 例題 24点の一致
00000
四角形ABCD の辺AB, BC, CD, DA の中点を,それぞれK,L,M,Nとし、
対角線 AC, BD の中点を, それぞれS, T とする。
(1) 頂点 A,B,C,D の位置ベクトルを,それぞれa,c,d とするとき,線
分 KM の中点の位置ベクトルを a,c,d を用いて表せ。
(2)線分 LN, ST の中点の位置ベクトルをそれぞれà, it,c,d を用いて表すこ
とにより、3つの線分 KM, LN, STは1点で交わることを示せ。
指針(2)点が一致⇔位置ベクトルが等しい
ここでは、3つの線分のそれぞれの中点が一致することを示す。
/P.45 基本事項 4
基
平
2:
を
点P(D),QGG),R(r)が一致⇔i=g=r
(1)線分 KM の中点をPとし,
A(a)
解答
点K, M, Pの位置ベクトル
をそれぞれ,m, とす
K
B(6)
ると
k = a + b
S
N
L
P
T
=
2
b = k + m
C(c)
M
D(d)
2点A(a),B(b)を結ぶ
線分ABの中点の位置
a+b
2
ベクトルは
2
よって
==
2 2
b= 1½ (a+b+c+d) a+b+c+à
2
(2)線分 LN の中点をQとし, 点 L, N, Q の位置ベクト
ルをそれぞれing とすると
4
g=
2
2 2
=1+ñ = 1 (b+c+d+à)_à+b+c+à
2
4
線分 ST の中点をR とし, 点S, T, R の位置ベクトル
をそれぞれ主とすると
2
2 2
2
¹ ( à±č + b + à ) = à + b + c + à
4
①~③ より 3つの線分 KM, LN, ST の中点の位置ベ
クトルが等しいから, 3つの線分は1点で交わる。
=
7-+-+
=
2
a+c
b+d
2
3つの線分のそれぞれの
中点で交わる。
練習 △ABCの辺BC, CA, AB をそれぞれm: n (m>0,n>0)に内分する点をP, Q,
② 24 R とするとき, △ABCと△PQR の重心は一致することを示せ。
解
2
