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実戦問題 21 正四面体の体積
一辺の長さが6である正四面体 OABCにおいて,辺 OA を 1:2に内分する点を P とする。
(1) ∠BPC= 0 とおく。
P
PB=PC = [ア
cost=
イであるから,
V' = セ
「エオ
よって、 △PBCの面積SはS カキクである。
(2)頂点から底面 ABCに下ろした垂線を OG とすると,OG
正四面体 OABCの体積Vは V サシスとなる。 よって、 四面体 OPBCの体積V' は
であるから,頂点 0 から平面 PBCに下ろした垂線を OH とすると,
ウ
である。人類の
ケコであるから
B
タ
OH =
テト である。
[チツ]
定により
解答
8-3-4-es ATC-11-20S-
K1 (1) OP=2より,OPにおいて、余弦定理により三角形を取り出して考える。
P = OB'+OP2-2・OBOP cos60° HA01日発行)
=62+22-2・6・2・1=28
2
AB
(1)
C
(2)
DESTIN
PB > 0 より
PB=2√7
よって PB=PC=2√/7
Wons ABC (1-1
E
DA
E
ABC
[Key1
したがって, △PBCにおいて, 余弦定理により
(2√7)+(2√7)2-62
cost=
2-2/7.2/7
5
14
E
416/3
8A (2)
5
3/19 A
次に, 0°<0<180° より
ゆえに, PBC の面積 S は
sin0 = √1-cos20= 14
とす
TA
0°<0 <180° より sin0 > 0
1
2
1/12 (27)
・PB・PC・sin0 =
S=
3√/19
=3/19 DATA &
D
14
(2) OA=OBOC より, G は △ABCの外接円の中心であり, AGは
OA=OB,
Key
外接円の半径であるから, 正弦定理により
0
(+α)(8-x) て
∠OGA = ∠OGB = 90°
6
8
OG は共通であるから
2AG =
よって AG =2√3
sin 60°
[Key 1
ゆえに、 直角三角形OGA において
したがって, 正四面体 OABCの体積Vは
OG = √OA-AG" = 2/6
1
V= ・ △ABC OG
1033 AOGA = AOGB
よってAG= BG
同様にして AG = BG = CG
であるから,点 G は △ABC
の外接円の中心である。
3
f = 90
=/1/1/1/
・6・6・sin60°・2√6 = 18√2
(四面体の体積)
さらに,PはOA を 1:2に内分する点であるから, 四面体 OPBCの体
1
=
×(底面積)×(高さ)
3
積
V₁ = V = 6√2
Key 2
1
また,V' = APBC・OH が成り立つことから
1
6√2
3
・3/19 OH より OH =
6
√√38
19
JA+E
OBCを底面と考えると、四
面体 OPBCの高さは、正四面体
OABCの高さの1/100倍である。
DA
△PBC を底面と考えると, OH
が高さとなる。
攻略のカギ!
Key 1 空間図形は,平面で切り取って三角形に注目せよ
空間図形における辺の長さや角の大きさは, 空間図形から適当な三角形を取り出し、正弦定理や余弦
理を利用して求める。
Key 2 四面体の高さは、体積と底面積から求めよ
立食
内
