EADER
【数学】
x2y+1-y2=2023 を満たす素数x,yの組
を求めよ.
【解答】
2023 は奇数であるから,
x2y+1-y2=2023
①
を満たすとき, x2y+1 と y2 の偶奇は異なる. つ
まり, xとyの偶奇は異なる .
偶数かつ素数は2のみであるから, x,yのど
ちらか一方が2である.
(I) y=2のとき.
① に用いると,
x5=2027.
2027 は素数であるから, これを満たす素数
x は存在しない。
(II) x=2のとき.
① に用いると,
22y+1-y2=2023.
(2)
yは奇数かつ素数よりy ≧3であることに
注意する。
まず, y=3のとき,
22y+1-y2=27-32
=119
より,②は成立しないから不適.
次に, y=5のとき,
22y+1-y2=211-52
=2023
より ② は成立する.
最後に, y ≧7のとき
22y+1 -y2>2023
が成立することを示す. そのため, n7以
上の自然数としたとき,
が成立することを数学的帰納法で示す.
(i) n=7のとき.
22n+1 > n²+2023
22n+1=215=32768,
より, ③ は成立する.
(ii) k7として, n=kのとき,
22k+1 >k2+2023
n²+2023=49+ 2023 = 2072
が成立すると仮定する.
このとき,
>0
22(k+1)+1_{(k+1)^+ 2023}
=22k+3_(k2+2k+2024)
=4.22k+1−(k2+2k+2024 )
> 4(k² +2023) − (k²+2k+2024)
=3k²-2k+6068
より、
=k(3k-2)+ 6068
≥7.19+6068
22(k+1)+1> (k+1) + 2023
を得る.これは,③がn=k+1のときも
成立することを意味する
以上 (i), (i) から, n ≧ 7 のとき,
22+1 > n² +2023
が成立することが示された.
これより, y ≧7のとき,
22y+1 -y2>2023
となり,②
(I), (II) より 求める素数x,yの組は,
(x,y)=(2,5).
を満たす素数yは5に限られる.
(
