この問題根本的に何をしていいかわかりません、、、 教えてください

1の乗根 2 2 π 5 69 a=cosisin のとき,次の式の値を求めよ。 (1) α+α+α² +α+1 1 (2) + 1-α4 1-a 2274 (3) a a² a³ aª 4 ポイント④ 一般に, nが自然数のとき ✓ 266 *(1 *1

数c 複素数平面です よろしくお願いします

23ok 65 複素数平面上でO(0), A (1 + i) とする。 点z を直線OA に 関して対称移動した点をwとするとき, wz を用いて表せ。 ポイント④ 直線 OA が実軸に重なるような回転を考える。

問) α=1+iとする。α^nが正の実数となるような最小の自然数nを求めよ。 なぜ青線のようになるのか教えていただきたいです。

209 (1) a a" a*-(√2)*(cos ++isin+)* =√(cosisin)であるから COS =(√2) (cos cosm + isin n ) +isin 4 αが正の実数となるとき COS・ ">0, sin=0 NT ゆえに =2m² (mは整数) 4 TOS したがって n=8m よって, 求める最小の正の整数nは,m=1と して n=8 1

なぜ2kπをつけるのですか？ またなぜ0<=θ<=2πの範囲なのですか？

応用 例題 方程式 = i を解け。 2 方程式を極形式で表して, 両辺の絶対値と偏角を比較する。 解答の極形式を z=r(cos0+isin0 ) ① とすると z3=r(cos30+isin30) また,極形式で表すと i = cos π π +isin 2 2 よって, 方程式は を満たす点 r(cos30+isin30)=cosisin 2 2 両辺の絶対値と偏角を比較すると π r3=1,30= +2kw (kは整数) 2 r>0 であるから r=1 ② π 2kл また 0 = + 6 3 002 の範囲では,k=0, 1, 2 であるから π 5 3 0 = = π 6' 6 2 π, ② ③ を ①に代入して, 求める解は (③ 2-√3+1 1 -13+11. -i = 2 2

マーカーで線を引いてあるところはどのように式変形をしていますか？？

26 = √√√3. 12 ( 29-√si 9 -3+ √3i 29 + 29 9 (3) 正の整数mに対して, .6m 26m -a a = (-27 √√3.6( そこで,26mの実部 2 千葉大学・理系 複素数 (1998~2020) 問題 複素数平面上で複素数 0.3, Js+iを表す点をそれぞれA Bo, Bとする。 の整数nに対して, 点 An+1 は線分ABの中点とし, 点B7+1は直線ABに関して B-1 の反対側にあり,三角形A+BB+】 が三角形A, BoB, と相似になるものとする 点An (n=1,2,3, ...) が表す複素数をznとする。 (1) 複素数 z3 を求めよ。 (2) 複素数26 を求めよ。 (3)正の整数 m に対して,複素数 26m の実部と虚部をそれぞれ求めよ。 解答例 (1) 複素数平面上で A1(0), Bo(√3), Bi(V+i)とし 点A2は線分ABの中点, 点 B2 は直線AB」に関して点 Bo の反対側で, △A 2 B B 2 が A B B, と相似になる。 <B2A2B, で, A1A2: A2A3=1:b1=1:- √√3 2 √3 = 6 YA 1 A, Para から,A2AsはA,A2をこだけ回転し、大きさを倍 OA₁ したものになる。 6 ここで, α=- 1/(cosisin)=1/2(+1/2 = 1/2 + とおくと、 √32 6 23-22=α(22-21), 23=22+α (22-21) √√3 さらに, 0,2= + =√3αであることに注意すると, 2 2 23 = √3a + √3a² = √3a (1+a) = √3 (1+ √3)(3+ √3) 2 6 2 3 3 (2)(1)と同様に考えると, 一般的に,Zn+2-Znil = α (Zn+1-Zn)となり, Zn+1-Zn=(2-2)^1=(√3a-0)a"-1=√3a" すると, n≧2において, α≠1から, n-1 2n = 21+√3a=0+ √3a (a"-1)√3.a" -a k=1 6 α-1 = α-1 ....(*) (*)から,26=vaq となり,α = ((cos+isinx)= -a=! a6-0 また, α-1= 1 α-1 √3 Si 27-(+√3)=29 √3; 12 + 6 6 -1 == 2 6 + 追iから、 6 _1なので、 27 -112- Re(26m) 12 Im(26m) ======== 12 「コメント 図形絡みの複素数と せずに数値計算をしま まず一般的に解く方法

(2)について質問です。 右の画像の赤線部において、正方形と分かるのは何故ですか？🙇🏻‍♀️

(1) 2 =) 練習問題 7 2次方程式 z²=i の解をすべて求めよ. の4次方程式 z=-8+8√3i の解をすべて求め,それらを複素数平面上に図示せよ. 0423 精講 複素数を含む方程式を解いてみましょう. zを極形式で表してみる のがポイントです. 偏角を比べるときは 2kπ(kは整数)のズレを 考慮することを忘れないようにしましょう. 解答 (1)z=r(coso+isin0) (r≧0,0≦0<2z) とおくと z2=r2 (cos20+isin20) また 1-1-(008+isin) 2 z2=iの両辺の絶対値と偏角を比較して π ✓ r2=1,20= +2k (kは整数) 2 π r=1,0="+kn これを忘れないように 0≦02π より π y 10 (r. 0)=(1, 4), (1, ¾/7) k=0 π k=1 5 COS π十isin ・π 4 4 1+i =cosisin confe+isin/r 1 = + 1/1 i, =±- 1+i √2 2 - π 2 y 1 48 1+i 1 V2 2=iの解 1 x

4分の7でも合ってますか?

(2) (東点中心 恵原点中心に (1001) TV 2 点を原点を中心にだけ 回転移動せも原点からの 距離を返信した点。

四角で囲ったところはなぜ➕なのですか？

応用 例題 4 3点A(a),B(B), C(y) を頂点とする正三角形ABC がある。 α=1+2i, β=7+4i のとき, 点Cを表す複素数を求めよ。 考え方 点Bの点Aを中心とする等の回転移動を考える。 解 △ABCは正三角形であるから, yA C(r) 点C(y) は, 点Bを点Aを中心と して1または2だけ回転した A(1+2i) 73 点である。 3 0 これより, r-a= (cosisin (B-α) 3 または, 7-a={cos (-1)+isin(-1) (8-a) したがって, x=(1/13 2 3 i) (6+2i)+1+2i C(r) B(7+4i) XC

黄色いところは何をやっているのか分かりません。。(;;)教えて欲しいです！

重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積(2) 媒介変数によって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 YA x 基本156 CHART & SOLUTION 基本例題156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 y Y2 右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな る点を B(t=to で x 座標が最大になるとする), t=πのと きの点をCとする。 S B A -3 O 1₁ x Xo この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり, 軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線AB を y, 曲線 BC を y2 とすると,求め る面積Sは t=π t=0 ●t=to 曲線が往復 している区間 s=Sydx-Sy yidx と表される。 よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0 また y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost =2sint(1-costするど よって, y=0 とすると sint=0 または cost=1 24 0≤t≤ x 5 t=0,0-(D)\\ 次に, x=2cost-cos 2t から 7 dx =-2sint+2sin2t dt xh (bala-nia) Daia inf. 0≤ts D sint≧0, cost ≦1 から y=2sint(1-cost)≧0 としても,y≧0 がわかる。 455-25 =-2sint+2(2sintcost)_(n)\ =2sint(2cost-1) 0<t<πにおいて dx dt -= 0 とすると, sint>0 で あるから π t 0 π |3| cost= 201 ゆえに dx t= J3 dt + よって、xの値の増減は右の表のようになる。 x 1 →>>> 032 ↑ P -3

①の式から赤の下線部引いたところの式ってどうやって出すのですか？

求める最小の自然数nは, k=0のときで π n=7+12k n=7 (2) B=cosisin であるから,"8"=yより (cos+isin) (cosm+isin) 7 cosx+isin 7 =COS 6 π 6 7 cos(+)x+isin(+)-cosx+isin .. COS 6 4 n 7 COS 6 4 π 6 6 7 よって(+)+2km ( は整数) ゆえに 6 4 2n+3m=14+24k Otisingy =cos notising 偏角を比較。 これ ③ 73 に に (cosa+isina) × (cos+isin =cos(a+B) +isin(a+B) ④74 C 共 偏角を比較。 ① 2 ④ 75 (2) ② k≦-1のとき 14+24k < 0 BIO a b が互いに素で n,mは自然数であるから, 1 より ≧0 ① を変形すると 2(n-7)=-3(m-8k) 2と3は互いに素であるから, n-7=-3l,m-8k=2l (l は整数)と表される。 よってn=7-3l, m=21+8k nは自然数であるから 7-3> 0 ここで ゆえに 2 n+m=(7-3l)+(21+8k)=7+8k-l acがbの倍数なら cbの倍数で ALF HINT ③ ある。 (a,b,cは整数) n+m が最小となるのは、 ② ③からん=0かつ1=2のと き,すなわち(n, m) = (1,4) のときである。