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57 独立な試行の確率の最大
さいころを続けて100回投げるとき, 1の目がちょうど回 (0≦k≦100) 出る確
46 OCT
のときである。
・基本 49
例題
重要
KI (JAHA & UNSTSAHAJA
であり,この確率が最大になるのはk=1
率は100CkX-
6100
ケア) 求める確率をpとする。 1の目がん回出るとき、 他の目が100-k回出る。
指針
(イ) 確率の最大値を直接求めることは難しい。このようなときは,隣接する2項
の大小を比較する。大小の比較をするときは,差をとることが多い。し
かし、確率は負の値をとらないことと„C= r!(n-r)!
n! Mo
や階乗が多く出てくることから、比
pk
CHART 確率の大小比較
ここで
PR+1
PR
Dk+1>1<Dk+1 (増加),
pk+1
pk
DR+1
Pk
Dr+1
pk
さいころを100回投げるとき, 1の目がちょうどん回出る | 目 (1)
解答確率をp とすると
DR = 100C ( 1 )* (5)
100! 59⁹-k
(k+1)!(99-k)!
=
5100-k
(k+1) (99~k)!
Dk+1 > 1 とすると
PR
両辺に 5(k+1) [0] を掛けて
これを解くと
De
A (100-k) (99-k)!..
95
k 6
100-k. >1
5(+1)
よって, 0≦k≦15のとき
SCHUCTS
<1とすると
k>95
6
Et をとり、1との大小を比べる
=100CkX
=15.8・・・
をとり,1との大小を比べるとよい。
・<1⇔phpk+1 ( 減少 )
100-k<5(k+1)
pr+1
PR
[慶応大]
を使うため、式の中に累乗
PR > PR+1
po<Þ₁<······ < Þ15 < Þ16,
75100-kOBSE
6100
k!(100-k)!
pk+1=100C+1 X
100! 5100-
2015 100.pwのkの代わりに
5.5(k+1)
+1 とおく。
「
RAT
100-k>5(k+1) (c)=(88) (S
=15.8...
De <Dat] 中益・さらには 0≦k≦100 を満たす
整数である。
これを解いて
xxx
よって, k16のとき
LIZAT
[NBNC)=P(_ _Þ16>Þ17>······>Þ100
B01
よって, D が最大になるのはk=16のときである。
反復試行の確率。
☆
745)
il
2012
5100-(k+1)
6100
① かんの大きさを棒で表すと
大量を最大 (g)
増加
15 17
fo-2 (0) TE
減少
100 k
99
2章
⑧⑧ 独立な試行・反復試行の確率