重要 例題19 ベクトルの不等式の証明 (1)
解答
|次の不等式を証明せよ。
(1) -ab≤ab≤ab
(2) a-ba+b≤à+b
p.602 基本事項
指針 (1) 内積の定義 = dcos (0は, 万のなす角) において, -1≦cos
る。
であることを利用。 ベクトルの大きさについて|≧0であることにも注意す
(2),
A≧0,
a +6 を示す。 左辺, 右辺とも0以上であるから、
B≧0 のとき A≦B⇔A'≦B
であることを利用し, 62 を示す。(右辺) (左辺) ≧0 を示す過程
では、(1)の結果も利用する。
次に,-66の証明については,先に示した不等式+6 +6を
利用する。
(1)[1] = 0 または = 0 のとき
a-6=0, |a||6|=075345
||||=1.5=||||=0
[2] a0 かつ 0 のとき
a のなす角を0とすると
a.1=|a|||cose
0°≦180° より
①から
①
cos≦1であるから
補足
不等式
絶対値に
①と考え
前ページ
A
こと
の
[1] のときは,a, のな
す角が定義できない。
な
0=180° 0=0°a
A |b|cos
-abab cos 0≤|a||b|ab=a|xb|cos
-absabab
(2) (+)-la +6
ゆえに la +6 (+16)
[1], [2] 5-ab≤a·b≤ab
=a+2ab+b²-(lal²+2ab+161)
=2(|a||b-a-b)≥0
|a|+|6|≧0, la +6≧0から
a+b≤a+b
(d)
② において,dをa+b, を一言におき換えると
D
よう
よって
ゆえに
②③から
a+b-b≤a+b|+|−6|
à≤a+b+b ...... (*)
1-16 +6....... ③
a-b≤a+b.
a-b≤a+b≤ä+b
定
coseは
(大きさ)
8=0°のとき最大
0=180°のとき最小。
(1)で示した
alaを利用。
|-6|=||
(*)のを左辺に移項
する。
