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重要 例題3 集合の要素の個数の最大と最小
集合ひとその部分集合 A, B に対して, n(U)=100, n(A)=60, n(B)=48 とす
る。
[藤田保健衛生大]
(1) n (A∩B) の最大値と最小値を求めよ。
(2)(A∩B) の最大値と最小値を求めよ。
基本 1,2
指針 (1) 個数定理 n (A∩B)=n(A)+n(B) -n (AUB) ,
-U(100)-
(A)+n(B)=60+48=108 (一定) であることから,
A(60)
ANBANB
n (AUB) が最大のとき, n(A∩B)は最小
n (AUB) が最小のとき, n(A∩B)は最大
となる。下の解答のような図をかいて考えるとよい。
(AUB) が最大となるのは, n(A)+n(B)>n(U)であ
A∩B
去果を利用
る。
るから、AUBUの場合である。 また, n (AUB) が最小となるのは, A,Bの一方が
他方の部分集合となっている場合である。
(2) 右上の図のBに注目すると
n(B)=n(A∩B)+㎖ (A∩B)
ゆえに
ここで, (1) の結果を利用する。
001 (3)
SO
解答
AUB=U
801)-(U)
(1) n(A)+n(B)> n (U) であるから,
AUB = U
(A∩B) は, AUB=Uのとき最
小になり
⇔A∩B=Ø
n(ANB)=n(A)+n(B)−n(U)
A∩B
個数定理を利用。
= 60+48-100=8
B(48)
にも注意!
n (A) > n (B) であるから
n (A∩B) は, ASBのとき最大に
---------
MADB⇔A∩B=B
なり
n(A∩B)=n(B)=48
HAADBActa S
よって
最大値 48, 最小値 8
-U (100)
(2) (A∩B)=n(B)-n (A∩B)
<検討
=48-n (A∩B)
B(48)
(2) 不等式 (数学Ⅰ)を用いて
vill
考えてもよい。
よって, n(A∩B) は,
A(60)
すなわち, (1) から
n (A∩B) が最大のとき最小,
8≤n(ANB) ≤48
ANB
n (A∩B) が最小のとき最大
-48≤-n(ANB) ≤-8
となる。 (1) の結果から,
48-48 ≦48-n (A∩B)
≤48-8
最小値は 48-48=0,
ゆえに 0≦n (A∩B)≦40
最大値は
48-8=40
R 0-(8) ca-(A)
02-(OUBUN)
GUUF}n By dun
練習
デパートに来た客100人の買い物調査をしたところ, A商品を買った人は 80 人,
3
[ア][
値はイ
B商品を買った人は70人であった。 両方とも買った人数のとりうる最大値は
である。また、 両方とも買わなかった人数のとりうる
[久留米大] (p.305 EX2
与えた若い
を作る
から 「 好きで
ない」を引
ーガンの法則
B=AUB
てもよい。
る方針で
のように
cとすると
〒35=10
n(ANB)=48-n(ANB)
-U(100).
B(48)
章 集合の要素の個数
1
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