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基本例題 116 割り算の余りの性質
a,bは整数とする。 α を7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。 このとき,
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1) a+2b
(2) ab
(3) aª
解答
指針 前ページの基本事項3の割り算の余りの性質を利用してもよいが,(1)~(3) は,
a=7g+3, b=7g' +4と表して考える基本的な方針で解いてみる。
【CHART 割り算の問題
(3) (7g+3) を展開して,7×の形を導いてもよいが計算が面倒。α*= (q²)2 に着目
し,まず,α を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
/(4) ² 2019
(4) 割り算の余りの性質 4aをmで割った余りは,r” をmで割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは「32019 を7で割った余り」であるが,32018 の計算は不可能。
このような場合,まず α” を m で割った余りが1となるnを見つけることから始める
のがよい。
p.485 基本事項 ①1, ③3
a=7g+3,b=7q'+4 (q, g′は整数)と表される。
(1)a+26=7g+3+2(7q'+4)=7(g+2q′)+3+8
A=BQ+R が基本
(割られる数) = (割る数)x (商)+(余り)
=7(g+2g′+1)+4
したがって, 求める余りは
(2) ab=(7q+3)(7g'+4)=49gg' +7 (4g+3g') +12
=7(7gg' +4g+3g′+1)+5
したがって、求める余りは 5
(3) a²=(7q+3)²=49q²+42q+9=7(7q²+6q+1)+2
よって, d²=7m+2 (mは整数)と表されるから
a¹=(a²)² =(7m+2)²=49m²+28m+4=7(7m²+4m)+4
したがって 求める余りは 4
(4) ²を7で割った余りは,33を7で割った余り6に等しい。
よって, (a)2=d を7で割った余りは, 62=36を7で割った
余り1に等しい。
2019 α2016α² (α) 336-α3であるから 求める余りは,
a
1336.6=6を7で割った余りに等しい。
したがって 求める余りは
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別解 割り算の余りの性質を
利用した解法。
(1) 2を7で割った余りは
2 (27.0+2) であるから
26を7で割った余りは
2･4=8 を7で割った余り1
に等しい。
ゆえに, α+26を7で割っ
た余りは3+1=4を7で
割った余りに等しい。
よって, 求める余りは 4
(2) ab を7で割った余りは
3・4=12を7で割った余り
に等しい。
よって, 求める余りは 5
(3) α^ を7で割った余りは
34=81 を7で割った余り
に等しい。
よって 求める余りは 4
