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基本 例題 15 複利計算
年利率, 1年ごとの複利での計算とするとき, 次のものを求めよ。
(1)n年後の元利合計をS円にするときの元金丁円
(2) 毎年度初めにP円ずつ積立貯金するときの, n
00000
年度末の元利合計 S, 円
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基本
指針 「1年ごとの複利で計算する」 とは, 1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算する
ことをいう。 複利計算では,期末ごとの元金, 利息, 元利合計を順々に書き出して考え
るとよい。 元金をP円, 年利率を
(1)1年後 — 元金 P,
とすると
利息 Pr
2年後
元金P(1+r),
3年後
元金P(1+r) 2,
利息 P(1+r).r
利息 P(1+r) or
n年後
合計 P(1+r)
補足
前へ
利合
消し
問
...
合計 P(1+r)2
合計 P(1+r)
毎年
合計P(1+r)"
元金 P(1+r)"-1, 利息 P(1+r)"-l.y
(2)例えば,3年度末にいくらになるかを考えると
1年度末 2年度末
3年度末
1年目の積み立て …P→P(1+r) → P(1+r)→P(1+r)3
解答
2年目の積み立て
P
→P(1+r)
→
・P(1+r)2
3年目の積み立て
P
→
P(1+r)
したがって, 3 年度末の元利合計は
P(1+r)+P(1+r)2+P(1+r)
← 等比数列の和。
(1) 元金T円のn年後の元利合計は T (1+r)" 円であるから
T(1+r)"=S
よって T=
S
(1+r)"
(2)毎年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍となる。
よって年度末には,
1年度初めのP円はP(1+r)" 円,
2年度初めのP円はP(1+r)" 円,
n 年度初めのP円は P(1+r) 円
になる。
したがって, 求める元利合計 S は
n-1
Sn=P(1+r)"+P(1+1) +......+P(1+r)
_P(1+r){(1+r)"-1}
(1+r)-1
P(1+r){(1+r)"-1}
=
(円)
r
右端を初項と考えると、
Snは初項P(1+r),
1+r, 項数nの等出
の和である。
が
