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基本例題 127 1次不定方程式の整数解 (1) ・・・ ax+by=1
･･･
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 9x+5y=1
解答
(1) 9x+5y=1
x=-1, y=2は ① の整数解の1つである。
よって
9・(-1)+5・2=1
① ② から
9(x+1)+5(y-2)=0
すなわち
9(x+1)=-5(y-2)
9と5は互いに素であるから, x+1は5の倍数である。
ゆえに,を整数として, x+1=5k と表される。
③に代入して 9.5k=-5(y-2) すなわちy-2=-9k
よって, 解は x=5k-1,y=-9k+2 (kは整数)
A
って
(2) 19x-24y=1
p.505 基本事項 [2]
指針 1次不定方程式の整数解を求める基本 まず, 1組の解を見つける
(1) x,yに適当な値を代入して1組の解を見つける。 方法は何でもよいが,例えば
[1] 係数が大きい x に 1, -1 などを代入して,yが整数となるようなものを調べる。
[2] 9x を移項して 5y=1-9x
この右辺が5の倍数となるようなxの値を探す。
(2) 係数が大きいから, 1組の解が簡単に見つかりそうにない。 このようなときは,互除
法を利用して見つけるとよい。 解答下の注意 を参照。
......
......
](2) x=-5, y=-4は方程式の整数解の1つである。
よって
19(x+5)-24(y+4)=0
......
L③から
すなわち
19(x+5)=24(y+4)
19 24 は互いに素であるから, x+5は24の倍数である。
ゆえに kを整数として, x+5= 24k と表される。
④ に代入して 19.24k=24(y+4) すなわち y+4=19k
よって, 解は x=24k-5,y=19k-4 (kは整数)
...
......
......
......
00
演習 131
......
注意 19 24 で互除法を用いて, 1組の解x=-5, y=-4を見つける方法
24=19.1+5
移項して
24-19.1=5
①
19=5.3+4
移項して
19-5・3=4
2
5=4・1+1
移項して
5-4.1=1
3
1組の解はどのようにと
ってもよい。 例えば,
x=4, y=-7でもよい。
<a b が互いに素で, ar
が6の倍数ならば,nに
6の倍数である。
(a, b, nは整数)
下の注意 参照。
|19x-24y=1
19-(-5)-24-(-4)=
を辺々引いて
19(x+5)-24(y+4)=
1=5-4・1=5(19-5.3)・1=19・(-1)+5・4=19(-1)+(24-19･1)・4 ･
15に①を
L4 に ② を代入整理
