-
![]()
50 第1章 式と計算
21 恒等式を満たす多項式
****
項式fr)について、次の等式f(x+1)=xf(x)-x+8x2 がxにつ
いての等式になるとする。
このとき、次の問いに答えよ。
fx の数を求めよ。
(f(x)を求めよ。
f(x)がぁ次式であるとし、f(x+1), xf (x) の最高次数をそれぞれnの式で表す。
等式の両辺の最高次数は一致することから,nの値を決定する.
f(x)の最高数n の値が分かれば,f(x)=ax+ax"+... +an-x+an
(ただし、αキ0) とおける。
室 (1) 恆等式 f(x+1)=xf(x)-x+8x ...... ①
0以上の整数とし, f(x) がn次式であるとする.
(i) n=0 のとき,すべてのxに対してf(x)=k(kは0でない定数)で
るから,f(x+1)=k となる.
よって、①はk=xk-x+8x より
これはxの恒等式ではない。
n0
k=(k+8)x-xとなり、
1 とすると,f(x)=ax+ax'+..+ax+an (a≠0) とおける
このときの左辺 f (x+1) の最高次の項は、 α(x+1)" を展開!
また式の最高次の項であり,その次数は, (x2)"=x2" より 2nである。
また、①の右辺のxf(x) の最高次の項は,xax"=ax”+2 より
の次数は n+2 である.
ここで21より+23であるから,右辺の最高次数は n+2.
してよい.
①はxについての恒等式であるから, 両辺の最高次数は一致する.
よって2n=n+2 より n=2
以上から、f(x)の次数は, 2
(2)f(x)は2次式より、f(x)=ax+bx+c(a≠0) とおける.
①の左辺は,α(x+1)^2+b(x'+1)+c=ax+(2a+b)x+(a+b+c)
① の右辺は,x(ax+bx+c) - x°+8x=ax'+(b-1)x+c+8)x
①はxについての恒等式であるから, ②と③の各項の係数を比較して、
6-1=0,2a+b=c+8,a+b+c=0
これらを解いて=2,b=1,c=-3
よって、f(x)=2x'+x-3
多項式f(x)がf(x)=0 の場合, f(x) の次数は定められていない. そのため、f(x) (
次数が0のときは、f(x)=k(kは0でない定数) とする.
多項式f(x) について、 次の等式 xf (x-1)=f(x+1)-x+7 がxについて
恒等式になるとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)f(x)の次数を求めよ。
(2) f(x) を求めよ.
St
**
p.44
**
p.44
13
14
***
P.44
**
p.46
**
p.47
15
16
17
***
p.48
18
****
R.49
19
