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[北海道大〕
54. くたてばねによる単振動〉
図のように, なめらかで十分長い直線状の棒 OP を鉛直に立てて
端を水平な床に固定した。 この棒に,同じ質量mの穴の開いた小さ
い物体A, B を通した。 物体Aには, ばね定数kの軽いばねをつけ,
ばねの他端は棒の端に固定した。 ばねは OP 方向のみに伸縮し, 棒
と物体A,Bの間に摩擦はないものとする。 さらに, 物体Aのばねと
は反対側に質量と厚さの無視できる接着剤で物体Bを接着した。 物体
A,Bが押しあうときは物体AとBは離れないが, 引きあうときは引きあう力の大きさが接
床
x=0+
P
Telle
[00000]
物体B
-接着剤
・物体 A
着剤の接着力以上になると物体AとBは離れる。重力加速度の大きさをgとする。
初めに, ばねはその自然の長さからdだけ縮んで, 物体 A, B はつりあいの位置に静止し
ていた。 図のように,このつりあいの位置を x=0 とし,鉛直上向きを正とするx軸をとる。
(1) 自然の長さからのばねの縮みd を,m, kg を用いて表せ。
まず, 接着剤の接着力が十分大きく, 物体AとBが離れない場合を考える。 物体Bをつりあ
いの位置から6だけ押し下げ, 静かに手をはなすと, 物体AとBは一体のまま上下に振動した。
(2) この振動の周期を, m, kを用いて表せ。
(3) この振動をしているときの物体A, B の速さの最大値を, m, k, b を用いて表せ。
物体AとBが一体のまま運動しているときの両物体の位置の座標をxとする。 また,物体
Aが物体Bから受ける力をTとし, x軸の正の向きをTの正の向きとする。 つまり, Tが
正のときは物体AとBは引きあっているが, Tが負のときは押しあっていることになる。
(4) このとき, 物体Bにはたらく力を, m, g, T を用いて表せ。 x軸の正の向きを物体Bには
たらく力の正の向きとすること。
(5) 物体 A, B の運動方程式を考えることで,Tを, m, k, g, x を用いて表せ。
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(6) T をxの関数として, -3d≦x≦3d の範囲でグラフに描け。 ただし, ここでは6>3d
とする。
次に, 接着剤の接着力が小さく, 物体A,B間の引きあう力の大きさがmg以上になると,
物体AとBは離れる場合を考える。 ただし, 離れる瞬間の前後で,物体AとBの運動エネル
ギーや, ばねの弾性エネルギーは変化しないものとする。
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物体Bをつりあいの位置から6だけ押し下げ, 静かに手をはなすと, 物体Bは運動の途中
で物体Aから離れた。
(7) 運動の途中で物体Bが物体Aから離れるためには,bはある値6 以上でなければならな
い。 bı を, m, k, g を用いて表せ。
(8) 物体Bが物体Aから離れた瞬間の物体Bの速さを, m, k, g, b を用いて表せ。
[22 千葉大 ]
