-
![]()
-
![]()
0
Do
える。
$E
基本 例題 169 指数関数の最大 最小
(1) 関数 y=4x+1-2x+2+2(x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
(2) 関数y=6(2*+2-x)-2(4+4) について, 2*+2-x=t とおくとき,yをtを
用いて表せ。また,yの最大値を求めよ。
指針 (1) おき換え を利用。 2*=t とおくと,yはtの2次式になるから
2次式は基本形α(t-p)+αに直す
で解決!
なお、変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に要注意。
(2) まず,X2+Y2=(X+Y)'-2XY を利用して, 4*+4 x を t で表す。
yet で表すとの2次式になる。 なお、 t=2* +2 x の範囲を調べるには, 20,
2-x>0 に対し, 2^2x=1 (一定) であるから, (相加平均) (相乗平均)が利用できる。
答
(1) 2=t とおくとt>0
したがって
0<t≤4 ······s T+
yをtの式で表すと
=d-nor
y=(2x)2-4・2+2=4t²-4t+2=4t-
( + - +/- ) ² + 1
2
t=4のとき
1/1/2のとき
t=
x≦2であるから0<t≦22
......
①の範囲において, y は t=4で最大, t=
ゆえに
ゆえに
2
よって
x=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2) 4*+4x=(2x)+(2-x)=(2x+2^x)-2・2*・2-x=t-2
したがって
v=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
①
20, 2x 0 であるから, (相加平均)≧(相乗平均) より
(*)
2x+2x≧2√2x2x2 すなわち t≧2
ここで,等号は2" = 2 - x, すなわち
YA
x=-x から x=0のとき成り立つ。
①から
17
²4-
y=-2(t-2)² + ²4/7
2
き最大値8をとる。
したがって
2x=4
2x =
②の範囲において, y はt=2のと
Sult
1/23 で最小となる。
x=2
x=0のとき最大値 8
x=-1___ (1)
......
17
2 8
1
4
10
関数の最大値と最小値を求めよ。
32
2
t
p≤q 2²≤2⁹
D FATIONE
DIO YA
50
1
|基本 167
=d.gol
O
2.2 x=2°=1
(12/1)>
t
相加平均と相乗平均の関係
a> 0, b>0のとき
-----
a+b
-≥√ab
2
(等号は α=bのとき成り
立つ。) <
t=2 となるのは, (*) で等
号が成り立つときである。
SAUFTOHTO 4—[(1) ★KÉ★)
(イ) y=4x-2x+2 (-1≦x≦3)
265
52
5章
29
指数関数
