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SHALLO
>x>1-
224
重要 例題 143 三角方程
0の方程式 sin' O+acos0-2a-1=0 を満たす 01
囲を求めよ。
->>
指針 まず1種類の三角関数で表す
(1-x²)+ax-2a-1 = 0 すなわち x-ax+2a=0
よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつ
ことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。
2次方程式の解と数kの大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
a>
cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は
0 から
/f(-1)=1+3a>
f(1) =1+a>0
から
<a≤0
②~⑤の共通範囲を求めて
[2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸とただ1点
で交わり,他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は ƒ(-1)ƒ(1) <0
ゆえに (3a+1)(a+1)< 0
図 [3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1またはx=1で交わる。
f(-1)=0 またはf(1) = 0 から
1
[1], [2], [3] を合わせて
-1≤a≤0
[参考] [2]と[3] をまとめて, f(-1)f(1)≦0 としてもよい。
a>-1
解答
COS0=xとおくと、-1≦x≦1であり, 方程式は
x2=a(x-2)
(1-x²)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0….. ①
この左辺をf(x) とすると、求める条件は, 方程式f(x)=0が
1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは,放物線y=f(x)とx軸の共有点について,次の [1] ま
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
よって,放物線y=x2と直線
y=a(x-2) の共有点のx座
標が-1≦x≦1の範囲にあ
① [1] 放物線 y=f(x) が 1<x<1の範囲で,x軸と異なる2 る条件を考えてもよい。 解答
p.139 を参照。
点で交わる, または接する。
[1]
D≧0
このための条件は, ① の判別式をDとすると
D=(-α)²-4・2a=a(a−8) であるから a(a-8) ≥0
よって
a≤0, 8≤a ...... (2)
軸x=12/23 について-1</1/28 <1から -2 <a<2
1
>--- 3
1
3
よって-1<a<-
[同志社大]
3
<--1/32
a=- または α=-1
3
検討
x2ax+2a=0をαについ
て整理すると
(1)
[2]
+
直の範
基本140
YA
+
-1
do
yi
1
14
+
+
1 x
00
X
練習 0 の方程式 2cos20+2ksin0+k-5=0 を満たす0があるような定数の値の範
④ 143 囲を求めよ。
4
a
え
(2
指針
COS
方し
f(
(1)
(2
