264 〈定積分と不等式〉
区間[a, b]で f(x)≧g(x)ならばff(x)dx≧Sg(x)dx
等号は、常に f(x)=g(x) であるときに限って成り立つ。
定積分と絶対値については,Sof(x)dx = Self(x)dx が成り立つ。
等号は,区間 [a, b] で常に f(x) ≧0 または常に f(x) ≦0 のときに限って成り立つ。
(1) x-1=(x-1)(x-1+x-2+･･････+1) であるから
Sox dx = (x1+x1)dx
2-2.
1
=S" (x+x++) dx + Sox dx
==
1
-x'
x"
xn-1
=
+
+
n
n-1
x"
x-1
x-1
+x]+[log|x=1|]"
a<1 * Sox dx = a²+log(1− a) = S„(a)+log(1−a)
k=1
k
(2)0 <a<1のとき (1) の結果から
| Sn(a)-log11|=|Sn(a)+log(1−a)|
◆α <1 のとき
log|a-1
log (1-a)
xn
dx
dx
x-1
B
B
絶対値の性質
A
|A|
=So 1xdx
0≦x≦a <1 においては
√x−1|
x">0, |x-1=1-x
であるから
また,立
So 11x | dx = So 1 x
a
よって
1-x
dx = 11Sx" dx
a
an+1
-1(x+1)=(n+1)(1-a)
S.(a)-log(+1
(3) α <0 のとき, (2) と同様にして
(n+1)(1-a)
S.(a)-log-|dx|
a≦x≦0 においては
Sdxdx
=S11x dx
|x|=(-x)", |1x|=1-x
1
また,
1 であるから
1-x
よって
So 1x1 dx = (x)" dx = (-x)"dx
Ja 1-x
n+10
---
n+1
|S.(a)-log (a)
a
Ja
(-a)n+1
n+1
◆x<1より x-1<0
声より
Soxdx = xdx
◆α < 0 なので上端と下端を
入れ替える。
◆x≦0 のとき
|x|=|x|"=(-x)"
