四面体 OABCが次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ。
条件:頂点 A, B, Cからそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を
通る。
ただし,四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の3つの頂点がなす三角形のこ
とをいう。
解答 略
頂点A から対面01BCに下ろした垂線の足を
Hとする。
このとき、Hは△01BCの9Hバなのせ、
0H=BH=CH
が成り立つ。
一方、OAOH、 OABH、 △ACHに注目すると、
LAHO- ZAHB-LAHC=90°
0H. BH- CH
AHは芸通
せら、
△ AOH = AABH= 0 ACH
したがって、A0-AB-AC
が成り立つ。
さらに、頂点Bかう対面0CAに下うした
垂線の又をエとする。
こnとき、11は △0CAの外ルなので、
B
H
C
とTなる。
A
ロエ
IV-Iク-10
が成り立つ。
一方っ△BOI、 △BCI、△BAIに注目すると、
L BI0= LBIC= BIA =90°
B
ート
C
BI 1は英通
IV-IO- 10
から
となる。
4 BOI= △ BCI =△BAI
したがって、 B0-BC= BA
が成り立つ。
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