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二取り縮む
3-9.
ヤ
参加三箇条
71
注目す。
362
基本 例題 229 不等式の証明(微分利用)
○次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) x>2のとき x+16>12x
(2) x>0のとき
x-16≧32(x-2)
000
P.349 基本事項 基本 219
指針 ある区間における関数 f(x) の最小値がmならば,その区間において、f(x)
り立つ。これを利用して, 不等式を証明する。
大小比較は差を作る 例えば,f(x)=(左辺)(右辺)とする。
②ある区間におけるf(x) の値の変化を調べる。
3 f(x) の最小値を求め, (区間における最小値)>0(または)から、
(または0) であることを示す。
なお、ある区間でf(x) が単調に増加することを利用する方法もある。
→xaf(x)>0かつf(a)≧0 ならば、xaのときf(x))。
① 大小比較は差を作る
CHART 不等式の問題
2 常に正⇔
(最小値) > 0
(1)f(x)=(x+16) 12x とすると
解答f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
(x)= 0 とすると x=±2
(指針
f(x)=(左辺) (
38 関
演習 例
2
x, y, zはxt
(1)xのとり
(2)P=x+y
指針
(1)x_
実
これ
(2) 3
CH.
(1)
2
解答
整理
y
x2 における f(x) の増減表は右のよ
うになる。
x
2
f'(x)
+
したがって
よって,x>2のとき f(x)>0+(f(x)
x3+16>12x
07
(2)f(x)=(x^-16) -32(x-2) とすると
f'(x)=4x3-32=4(x8)
=4(x-2)(x2+2x+4)
として、f(x)の
化を調べ、f(x)
す。
別解 (1) 2
f(x)>0
ゆえに、x2のとき
f(x)は単調に増加
よって, x>2のとき
f(x)>ƒ(2)=0
ここ
こよ
し
(2)
すなわち f(x)
f'(x)=0とすると
x=2
x0 における f(x)の増減表
x-8=0 の実数態は
J
x 0
2
x=2のみ。
は右のようになる。
6x+3 & f'(x)
0
+
ゆえに,x>0のとき,f(x)
f(x)
極小
x=2で最小値 0
0
熱をとる。
よって,x>0のとき
したがって
f(x)≥0
f(x)の最小値
x-16≧32(x-2)
等号が成り立つのは
x=2のとき。
検討
昌樹
大・最小不
<(\)\)\
10+znl
DRAGE
練習 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 18x
②229 (1)x>1のときx+3>3x
(2)3x+1≧4x3
練習
④230