基本例題 105 階差数列 (第1階差)
次の数列{an}の一般項を求めよ。
2,7,18,35,58,
1). (1+
指針 数列を作る規則が簡単にわからないときは, 階差数列を利用するとよい。
数列{an}の階差数列{bn} とすると bn=an+1-αn () ME
{an}: a₁ az
a3 a4
{bn}: 616263
n≥20
これは
誤り!
......
n≧2のとき
an-1 an
CENA
n-1
an=a₁+Σbk
k=1
-TEX
n≧2のときについて, 数列{an}の一般項を求めた後は, それがn=1のときに成り立つか
どうかの確認を忘れないように。
THES
n-1
=2+6≥k-1
k=1
bn-1
k=1_
n-15I
「n≧2」としないで上の公式αn=a+bk を使用したら, 間違い。 なぜなら,
n-1
n=1のときは和②bk が定まらないからである。
k=1
n-1
an= a₁ + Zbr=2+(6k−1)
次の数列の
CHART {an}の一般項わからなければ 階差数列{an+1-α,} を調べる
=(( [~) • ( [~$ ) + ( [+s}}&
解答
数列{an}の階差数列を {bn} とすると((+1)+2=2
$105
{an}: 2,7,18,35,58,
{bn} 5, 11, 17, 23,......
数列{bn}は,初項 5, 公差 6の等差数列であるから
bn=5+(n-1)・6=6n-1
120
=2+6・1/12 (n-1)n-(n-1)
=3n²-4n+3 ...... ①
求めよ。
3n²-4n+3=3.12-4・1+3=2
TONOVOLEO
p.5383
n=1のとき
初項はα=2であるから, ① はn=1のときも成り立つ。
an=3n²-4n+3
したがって
(S+R)+(1+BS) I+
(1+x)
12 7 18 35 58
5 11 17 23
+6 +6 +6
a
n≧2に注意。
(2+)2
nではない
ことに注意。
(€+S+7)+(S+1)+1=
Ekiak= n(n+1) C
nの代わりにn-1 とおい
たもの。
初項は特別扱い
は1で1つの式に変
される (しめくくり)。
+ (1+wx + + U ! $$U
+(1+ms)}(1+8)
