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00000
せよ。
試験]
基本160
0
底≠1
=logy y
ニッソ = 1/2
261
例題166
対数関数の最大・最小(2)
x2,y2,xy=16 のとき, (logzx)
(logzy) の最大値と最小値を求めよ。
CHART
& THINKING
多項式と対数が混在した問題 式の形をどちらかに統一
い。したがって、式の形を統一することから始める。
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③ 基本 162
条件 x2,y2, xy=16 と, 値を求める (logzx) (10gzy) の式の形が異なるから扱いにく
条件式の各辺の2を底とする対数をとると
このとき (10gzx) (logzy) の log を取り外すことはできないから、条件式を対数の形で表す。
ogax log22, logzy log22, logzxy=10g2 16 すなわち 10gzx+log2y=4
おき換えをしたらよいだろうか?
となる。 基本例題162のように, 2次関数の最大・最小問題に帰着させるには、どのように
答
x22,y≧2, xy=16 の各辺の2を底とする対数をとると
log2x1, log2 y≥1, log2x+log2y=4
log:x=X, log2y=Y とおくと
X ≧ 1, Y≧ 1, X+Y=4
logzxy
X+Y=4 から
Y=4-X
...... ①
=10gzx+logy
また log216=10gz2"
5章
19
Yであるから
X1と合わせて
また
=XY=X(4-X)
=-X2+4X
=-(X-2)2+4
4-X≧1
1≤ X ≤3
ゆえに X ≤3
②
(logzx) (logzy)
消去する文字Yの条件
(Y≧1) を,残る文字 X
の条件(X≦3) におき換
える。 これを忘れないよ
うに注意する。
対数関数
最小
2次式は基本形に変形。
+3
これを(X) とすると,②の範囲に
おいて,f(X)は
f(X)*
4---
3-
最大
最小
X=2
で最大値 4;
忘れ
X=1, 3 で最小値3 をとる。
0 1 2 3 4 X
①から
X=2 のとき Y=2,
X=1 のとき Y=3,
き, 両辺
要である
X=3 のとき Y=1
10gzx=X, log2y=Y より, x=24, y=2 であるから
(x,y)=(44)
16
yの値は y=
・から求
x
で最大値 4;
めてもよい。
をとる。
(x,y)=(2,8),(8, 2) で最小値3
[山梨大]
PRACTICE 166
x2,y2/23 xy=27 のとき (logsx)(logsy) の最大値と最小値を求めよ。
1166xy=16の両辺をする対数をとると、
log+x+log, y = 4
Boyu
192g=4-12 (1g)+410g+logx=もとするに至り
+4=(4t)={(2}=-2)2+4
よってt=1でmin3(2=2)
12cmx4(X=4(メミュを満たす)
