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基本例題 155 第2次導関数, 第3次導関数の計算
(1) 次の関数の第2次導関数, 第3次導関数を求めよ。
(ア)y=x^-2x+3x-1
(イ) y=sin2x
指針 (1) y
(2) y=tanx-1<x<1の逆関数 y=g(x) とする。 g” (1) の値を求めよ。
p.265 基本事項 ① 基本 147
分
解答
(1) (ア)y=x²-6x2+3であるから
よって
y=f''(x) ⇔ x=f(y) と
ゆえに
練習
47
(ウ)y=axloga であるから
y"=12x2-12x,y'=24x-12
(イ)y'=cos2x2=2cos2x であるから
y=2(-sin2x) ・2=-4sin2x,
微分
(第1次) 導関数
第3次導関数
y=f(x) の高次導関数には,次のような表し方がある。[S]
第2次導関数
y", f'(x), f(2)(x),
d'y
dx²
d'y
dx²
ď³yd (d²y\↑ B
第3次導関数
y''', f'(x), f(3)(x),
dx3
dx/dx²
(2) 高校の数学では, y=tanx の逆関数を具体的に求めることはできない。 ここでは
dy 10
dx dx
を利用しまず g'(x) を x で表す。
dy
y'=-4cos 2x ・2=-8cos2x
dy
1
dx dx
dy
g"(x)=
第2次導関数
d'y
dx2
y"=a*(loga)², y"=a*(loga)³
(2) 逆関数y=g(x) に対し x=g(y) すなわち x=tany
:. g'(x)=₁
1
1
cosy
d
- =
=
2･1
(1+12) 2
g" (1)=--
v²
dx1+x2,
=cos'y=
(ウ)y=ax (a>0, a≠1)
diy
dx³
分
1+tan² y
2x
( 1+x2) 2
(1) 次の関数の第2次導関数. 第3次
00000
"=(EUG
=
#0 (x)=x+y=(2 cos 2x)',
y'=(-4sin2x)'
1+x2
=
dldy
dx dx
y=(4x²-6x2+3)',
y'=(12x2-12x)、
<y" = (a*loga)',
y'={a*(10ga)'}'
g-'(x)=tanx
d
dy
tan y =
1
cosy
g" (x) はg'(x) をxで微分
したもの。(-)=一品
()==0+
x)=12 (1)1=x8300 TUT
13* .((x)N)q=x 38 (1)=5
