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基本例題 33 重複組合せの基本
次の問いに答えよ。 ただし, 含まれない数字や文字があってもよいものとする。
(1) 1,2,3,4の4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。
作られる組の総数を求めよ。
(2) x,y,zの3種類の文字から作られる6次の項は何通りできるか。
■p.347 基本事項
解答
(1) 3つの○で数字, 3つので仕切りを表し,
1つ目の仕切りの左側に○があるときは
1つ目と2つ目の仕切りの間に○があるときは
2つ目と3つ目の仕切りの間に○があるときは
3つ目の仕切りの右側に○があるときは
を表すとする。
tekn
このとき3つの○と3つの|の順列の総数が求める場合の
数となるから 6C320 (通り)
(2) 6つの〇でx, y, zを表し、2つので仕切りを表す。
このとき, 6つの○と2つのの順列の総数が求める場合の
数となるから 8C6=gC2=28 (通り)
11361
指針 基本事項で示した„Hy=n+r-Cr を直ちに使用してもよいが,慣れないうちはnと
違いやすい。次のように,○と仕切り」による順列として考えた方が確実。
(1) 異なる4個の数字から重複を許して3個の数字を取り出す。
→3つの○と3つの仕切り | の順列
(2) 異なる3個の文字から重複を許して6個の文字を取り出す。
→6つの○と2つの仕切りの順列
検討○と」を使わない重複組合せの別の考え方
別アプ
ローチ
練習
③33
数字 1
数字 2
数字 3
数字 4
このとき
○重要35
(1) 例えば,〇〇|〇|
BACK
1 234
れる。
したがって 求める組合せの総数は,C3=20 (通り) である。
で (1,1,3)を表し、
SUB101010
(2) 例えば,
1234
(2,3,4)を表す。
00|0010
00010100
xy
2
xyz2を表す。
(1)で,取り出した数を小さい順に並べ、その各数に 0,1,2を加える。例えば
1,1,3→1,2,5 3,4,4→3,5,6
となる。 このようにしてできる数で最小のものは1+0=1, 最大のものは 4+2=6で
あるから 求める組合せの総数は, 1,2,3,4,5,6の6個の数字から3個を取り出す
組合せ 総数は C) に一致すると考えられる。
逆に,このようにしてできる組において, 2, 3 4 2,2, 2;
1,3, 6→ 1,2,4のように,各数から 0, 1,2を引けば、条件を満たす組合せが得ら
(1)8個のりんごをA,B,C,D の4つの袋に分ける方法は何通りあるか。
し, 1個も入れない袋があってもよいものとする。
(2)(x+y+z) の展開式の異なる項の数を求めよ。
「基
(1.
(2
指針
解
(1)
(2)
3
こ
C
=
別角
C
練
