2 [1] >1 とする. 2次方程式kx2+(1-2k)x-2=0の2つの解を α,β とする.2
次方程式x-2(k+1)x+4k=0の解の1つはβであり、もう1つの解をとす
る.
(1) β を求めよ.
(2) β-a=y-βが成り立つとき,kの値を求めよ.
(1) kx²+(1-2k)x-2=0
より
(kx+1)(x-2)=0
1
k>1より x=-
2 これらがα β
x2-2(k+1)x+4k=0 より
よって x=2k, 2 これらが β, Y
(x-2k)(x-2)=0
よって β=2
(2)(1)より Q=-
1
k'
y=2k
β-α=y-β より α+y=2β よって
1
+2k=4
k
2k2-4k-1=0 k>1よりk=2+26
2 [2] 実数xの方程式x²- (k-1)x-k=0とx2-2kx+k=0がただ1つの共通解
を持つとき,kの値を求めよ. また, それぞれのkに対応する共通解を求めよ.
x2-(k-1)x-k2=0 ...... ①
①と② が共通解αをもつとき
α2-(k-1)a-k2=0
③ ④ より
(k+1)a-k-k=0
よってk=-1,a=k
x2-2kx+k=0 ......②
α2-2ka+k=0
④
(k+1)a-k(k+1)=0
(k+1)(a-k)=0
k=-1のとき ① ② はともにx2+2x-1=0 となる.
この2次方程式の判別式をDとすると, D=12-1(−1)=2>0
よって①と②は共通な実数解を2つもち,不適
α=kのとき ③より k2-(k-1)k-k2=0 (k-1)k=0 よってk=0, 1
k=0のとき ① より x2+x = 0 ②よりx2=0
よって①と②は共通解x=0をただ1つもつ
k=1のとき ① より x2-1=0
② より x2-2x+1=0
よって①と②は共通解x=1をただ1つもつ.
以上より k = 0 のとき 共通解 x=0 k=1のとき 共通解 x=1
