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72-
-4STEP数学ⅡI
234 連立不等式
+y4, 20
を満たす点(x, y) の存在
する領域は右図の斜線部
分である。 ただし, 境界
線を含む。
2x-y=k 1
とおくと, ①は傾きが2,
切片がkの直線を表す。
図から, 直線 ①が点 (2,0) を通るとき ーkの値
は最小となる。 すなわち, kの値は最大となる。
このとき
k=2-2-0-4
また、領域上で直線 ①が円x'+y=4に接する
ときーの値は最大となる。 すなわち, kの値は
最小となる。
①から
また、直線
3x+4y=25は,円
x+y=25上の点
(3,4)における円の接
線である。
よってPとQは図の
ようになり
PCQ
したがって,x+y°<25 ならば3x+4y=
ある。
表す
y=2x-k ...... 2
これをx+y=4に代入して
x2+(2x-k2=4
よって 5x24kx+k4=0 ...... ③
この2次方程式の判別式をDとすると
=(-2k)-5(2-4)=-k²+20
(2) 不等式x'+y2<4
不等式 x+y2-8x+12>0の表す
とする。
Pは円x2+y2=4の内
部であり, Qは円
x2+y2-8x+12=0
すなわち, 円
(x-4)2+y2=4
の外部である。
よって, PQは図の
ようになり
PCQ
O
直線 ①が円に接するとき, D=0 であるから
-k²+20=0 よって k=±2/5
接点が領域上にあるとき, 接線 ②の切片は正
であるから k=-2/5
2k 4√√5
このとき ③から x=- -=--
5
②からy=2(-45-k=25
よって、 2x-yは
(メ2-2x)+3
052 第3章 図形と方程式
STEP B
□ 228 次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) y≦x2+4
*(2) y>-2x+4x
□ 229 次の不等式, 連立不等式の表す領域を図示せよ。
[(3x-2y-2)(2x+3y+3)<0
*(1)
(x² + y²≤4
(2)
lx-5y+8≧0
*(3) 1 <x2+y'≦9
*230 右の図の斜線部分は, ど
のような連立不等式の表
す領域か。 ただし, (1) は
境界線を含まず (2) は境
界線を含むものとする。
Q
(1)
582-7-8
(3)y≦2x2-4x+3
(y-2x) (y+2x) <0
(4)(x2y) (1-x-y) 0
(2)
235 x, y は実数とす
*(1)x2+y^<25
*(2)x²+y^<4
(3)x+y>√
236 次の不等式を
✓ 237 次の不
(1) |:
-20
3
したがって, x+y2 <4ならば
x2+y2-8x+12>0である。
(3) 不等式x+y> √2の表す領域をP,
不等式x'+y>1の表す領域をQ とする。
Pは直線x+y=√2の上側の部分であり
x+y=1の外部である。
直線x+y=√2 と円x2+y2 =1の位置関係
いて考える。
x+y=1の中心 (0, 0) と直線x+y="
の距離は
*231 3頂点がA(2,0), B(-3, 4), C(-3, -1) である三角形の内部および周上を
表す連立不等式を求めよ。
□ 232 (1) x, yが4つの不等式 x≧0, y≧0, 2x+y5, x+3y6 を満たすとき
x+yの最大値および最小値を求めよ。
14 ASS
*(2) x,yが3つの不等式 x+y≦6, 2x+y 6, x+2y≧4 を満たすとき
2x+3yの最大値および最小値を求めよ。
✓ 233 2 種類の薬品 P, Qがある。 その1gについ
A成分 B成分 価格
✓ 238 直線
らな
例題
x=2, y=0のとき最大値4,
4√5
1-√√21
=1
2/5
V12+12
ニー
5
のとき最小値 2√5
5
をとる。
これは円の半径に等し
い。
Q
ゆえに, 直線と円は接
235
する。
仮定と結論の不等式が表す領域をそれぞれP,
よって, PとQは図
√√2
-1
のようになり
Qとして PCQであることを示す。
不等式x+y'<25 の表す領域を P.
等式 3x+4y<25 の表す領域をQとする。
+y=25の内部であり, Qは直線
+4y=2の下側の部分である。
PCQ
したがって,
x+y> √2 ならばx+y^>1である。
236 x+y2-2x+4y4 から
て, A成分, B成分の量と価格は,それぞれ右
の表の通りである。
P
Aを12mg以上, Bを15mg以上とる必要が
2mg
1mg 4 円
Q 1mg 2 mg 6円
あるとき,その費用を最小にするには,P,Qをそれぞれ何gとればよいか。
*234 x, yが2つの不等式 x2+y'≦4, y≧0 を満たすとき 2x-yの最大値、最小
値を求めよ。
ヒント
TES
指
