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【12分】
太郎さんと花子さんのクラスでは,数学の授業で先生から次の問題が宿題として出
された。
(2) 連立方程式 (*) がx=” を満たす解をもつのは,α= スセのときであり,この
とき解は
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§1 数と式
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数と式
問題 α を実数とする。 連立方程式
(x²+xy+y² = 7a-7
xxy+y=a+11
の解を求めよ。
(1)この問題について, 太郎さんと花子さんは次のような話をしている。
x=y=±ソタ
である。
また,a=4のとき, 0<x<y を満たす解は
..(*)
x=√
チ
チ
41=1
+
である。
太郎: 連立方程式といえば, 一文字消去が基本だけど,この式ではどうやって
消去したらいいかわからないし, 他の方法を考えないといけないね。
花子: そういうときは式の特徴を生かせばいいよ。
太郎: 二つの式はどちらもryxyの式だから,r'+yとryの値がαで表
せるね。
花子: そうすれば, (x+y) と (x-y) の値が求まるから, x+y と x-yの値を
求めることができるね。
太郎: なんとか解けそうだね。
2+y"とzyの値をαで表すと
るから
x²+y²=7
lat
イ
xy=
ウ
a-
I
(rty)=オカ α- キク
Po
(ry)=ケコα+ サシ
(次ページに続く。)
(3) 太郎さんと花子さんは,さらに次のような話をしている。
太郎: 連立方程式 (*)はいつでも実数解をもつわけじゃないみたいだね。
花子:そうだね。
太郎 どんなときに実数解をもつか, 調べてみよう。
連立方程式(*) が実数解をもつようなαの値の範囲は
テ
Sas+=
ト
である。さらに, 0<x≦y を満たす解をもつようなαの値の範囲は
ヌ <as ネノ
である。