基礎問
799
37 最大最小 (IV)
x,yがすべての実数値をとるとき, z=x2-2xy+2y2+2.cc-4y+3
について,次の問いに答えよ.
(1)yを定数と考えて, xを動かしたときの最小値mをy で表せ.
(2)(1)のmにおいて,yを動かしたときの最小値を考えることで,
zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ.
精講
変数が2つ(xとy) ありますが, 36のように文字を減らすことが
できません.このような場合でも、変数が独立に動くならば、片方
の文字を定数と考えることによって, 最大値や最小値を求められます。
解答
(1)
z=x2-2(y-1)x+2y2-4y+3
その最小値={x-(y-1)}2-(y-1)2+2y²-4y+3
を求める
={x-(y-1)}2+y^-2y+2 *
よって, m=y²-2y+2
(2) m=y²-2y+2=(y-1)2 +1 平安心
... z={x-(y-1)}2+(y-1)^+1
Mの最小値を
する{x-(y-1)}2≧0, (y-1)≧0 だから
x-(y-1)=0 かつ, y = 1, すなわち
x=0, y=1のとき, 最小値1をとる.
ポイント
問題 37
式をxについて整理
◆平方完成
最性は、頂点の座標
A,Bが実数のとき
A2+B2≧0
等号は A=B=0
のとき成りたつ
2 変数の関数の最大・最小を求めるとき,それらが独
立に動くならば、 片方を定数と考えてよい
