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等差数列と等比数列
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例題 263
2つの等差数列に共通な数列
初項4,公差3の等差数列 {an} と, 初項200, 公差-5の等差数列 {bn}
がある。数列 {an} と数列(bn} の共通項を, 小さい方から順に並べてでき
る数列{c}の一般項と総和を求めよ、人気
第8章
考え方 解答1数列 {an} と数列 (bn} の正の項を小さい順に並べた数列 (d.} を書き出すと, 数
列{c} の初項がみつかり, 数列{cn} の規則性もわかる。
解答2(数列 (an}の第《項)3 (数列 (bn} の第m項) として, 自然数 , mの関係式を求
め,4, m のいずれかを自然数んで表す。
{an}:4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,
数列{bn}の正の項を小さい順に並べた数列 {da} は,
{d}:5, 10, 15, 20, 25, 30,
よって,共通項の数列 {c} の初項は 10
数列{an} の公差は3,数列{dn}の公差は5であるから,
数列{c} は3と 5 の最小公倍数15を公差とする等差数
列である。よって, 数列 {cn} の一般項は,
Cn=10+(n-1)×15=15n-5
また,10SCnS200 より,
解答1
an=4+(n-1).3
=3n+1
bn=200+(n-1)-(15)
=-5n+205
b,>0 となるnの値は,
n<40 より,
数列{da} は,
0>+4=b40=5 で, 公差は5
{cn} は初項 ci=10 以
上,{b}の初項 200 以
下である。
10<15n-5S200
I
したがって,1ハns より、
3
13
よって,数列{cn} の総和は,
(S+0T 1.
2
-13(2×10+(13-1)×15}=1300
5 Sa=ウn2a+(n-1)d}
解答2 an=4+(n-1)×3=3n+1
bn=200+(n-1)×(-5)=-5n+205
a=bm とすると,
30-204=-5m より,
3と5は互いに素で,l, mは自然数であるから,
m=3k (kは自然数)と表せる。
したがって,
0 45bmS200 より,
1 67
数列 {a} の第2項と
数列{b}の第m項が
等しいとする。
30+1=-5m+205
3(2-68)=-5m
mは3の倍数
bm=-5×3k+205=205-15k
4S205-15k<200 0
81
Cn}は,a=4 以上。
= 200 以下である
13
3ミんs
三Sより、
5
数列{c}は、bm=205-15k に k=13,12, 11,
1を代入して得られる数列だから,
{Cn}:10, 25, 40,
よって,初項 10, 公差15, 項数13の等差数列より,O
Cn=10+(n-1)×15=15n-5
190。
また,数列{cn} の総和は, 13(
