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体変数 αX + b の期待値,分散 例 106 (1) X を確率変数, a, bを定数とする。 X の分散 V (X) と aX+bの分散 ▲発展例題 123①0 (eX +6) においてV(aX+b) = q²V (X) が成り立つことを証明せよ。 (②) 赤玉3個と白玉2個の入った袋から, 3個の玉を同時に取り出すとき, 3 個のうちの赤玉の個数をXとする。 このとき, 確率変数2X +3 の期待値 と分散を求めよ。 CHART 確率変数aX+bの期待値、分散 E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X) は期待値のことを示しているのは知ってますが、 分散の定義 (2) ま 10x+b)いうのは一体何を表しているのですか? GUIDE (1) E( E(X) = m とすると E(aX+b)=aE(X)+b=am+b よって V(aX+b)=E({(ax+b)(am+b)}) =E((aX-am)²)=E(a²(X-m)²) =a²E((X-m)²) =a²V(X) by -V(X)=E((X-m)") -E(aX)=aE(X)

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点が一直線上にあることの証明 例題26 基礎例題 23 基礎例題 53 ①①① 平行四辺形ABCD において、 辺CD を 3:1に内分する点をE, 対角線 BD を 4:1に内分する点をFとする。 このとき, 3点 A, F, E は一直線 上にあることを証明せよ。 CHART O GUIDE 3点P, Q, R が一直線上にあることの証明 PR=kPQ となる実数んがあることを示す.. ****** ① AB=1, AD=d とする。 平行四辺形にはこの表し方が有効。 ② AE, AF をそれぞれ, d を用いて表す。 ③3 AFAE(または AE=AF) となることを示す。 解答 TE=6, AD=d とする。 点は辺CD を3:1に内分するから AC+3AD__ (+d)+3d (木) 3+1 ****** b+4d 4 点は対角線BD を 4:1に内分するから AF AB+4AD6+4d 4+1 5 ...... b B D K₁ F E 10.②から AFAE よって、3点A, F, Eは一直線上にある。 Lecture 3点が一直線上にあることの証明 ←おき換えると表記がらく になる。 (*) AC=AB+BC =b+d 381 1章 5 AE=AD+DE = d+ 1/6 AE=AC+CE てもよい｡ 0 この式ってなぜCを使わないのですか? 貼っていうのはどうやったらでてくるのですか? ベクトルの図形への応用

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FLEN 23 に内分する点をP, 辺BC を 2:5 に外分する点をQとする。 次のベクトル (g) B(6) C(c) を頂点とする △ABCにおいて、辺ABを2:1 を用いて表せ。 点P, Q の位置ベクトル ACPQの重心の位置ベクトル CHART P (11) 内分・・ *** GUIDE 2点A(a), B() を結ぶ線分をmin に na+mb m+n m-n 3点 (), B (6),C(c)を頂点とする△ABC の重心の位置ベクトル a+b+c 3 (2) PQ=OQ-OP として, (1) の結果を利用する。 Q (9), GGg) とする。 _¹·a+26 _ 1; 2+1 = -56+265 2-5 (2) PQ=0Q-OP=q-p 内分点・外分点の位置ベクトル (2) PQ 3 -(³-6-33²) - ( ²3 à + ² 6) 外分・ ･･･ -na+mb na-mo -m+n このPQ=-OPの "0"はどこからでてきたのですか? ”と答えてもよい。 Pl 位ベクトル 外分点の公式は nb-mc を用いてもよ 図を見てもありません.... となる。 -2+5

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FAIZA 17 (1) α = (5,1) と 6=(2, x) が垂直になるようなxの値を求めよ。 (2) c = (v3.1) に垂直な単位ベクトルを求めよ。 CHART ベクトルの垂直条件 a+ba·b=0 (+0,6+0) でない2つのベクトルaとのなす角が90°のとき、こと は垂直であるといい, と書く。 =(x,y) とする。 ②大きさの条件と垂直条件をx,yの式で表す。 GUIDE ****** (21-105 |2R-=-12, člens ce=0 ③ ② で作ったyの連立方程式を解きを求める。 したがって 解答 0 0.6=0 から 5×2+1xx = 0 よってx=-10 2) i=(x,y) とすると, ||=1 であるから x'+y'=1….. ①-1-12 vie であるから c'e=0 すなわち よって y = -√3x ②①に代入して x2+(-√3x)^=1 よって 4x²=1 0から x=1/2のとき X= なんで、1にしなのですか? a6=5×2+1×x ****** ゆえに、x=2 から 基礎例題16 基礎例題 49 ①00 y=- xn-12/2 のとき ソー y= Lecture ベクトルの垂直 でない2つのベクトル √3 2 √√3 2 3 √3 *-(1-4) (-14) 2 2 2 √x+y=0 ce=√3xx+1xy x== -1/-2 c=(√3,1) 7-(4-4) は2つある。 11. Kife

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例90 a=1,xx)=20+1 によって定められる数列{a.)の一般項を求めよ。 CHART v=pa.g型の漸化式 a-e=p(a.-c) & (cl c=pc+q) GUIDE® ① cmpctgを満たす。 を求め、漸化式を ti-c=pac) の形に変形。 ② a-c=とおき、数列(b)の一般項を求める。 ③3 bate であることに注意して、数列(a)の一般項を求める。 解答 t=202+1 を変形すると +1=2 (+1)^ 発展 97.98 100 整理して与式と 一致することを確認 ここで、 a.+1=6 とおくと b=20m よって、数列{bg) は公比2の等比数列で、初項は b=2-2²-1-2 a₂=2"-1 ゆえに、数列{bg)の一般項は したがって、数列{a.)の一般項は [別解 ano=2an+1 ① において、 の代わりに +1 とすると 02+2=20 +1+1 Gitla また、 c=2c+1 を解くと 9-9-2(x+1(-as) ②-①から よって、数列{an}の階差数列を (62) とすると ゆえに、数列{bg) は公比2の等比数列で、初項は by=as-a, =(24,+1) -a, = 0,+1=1+1=2 よって、数列{bg}の一般項は b=2-2-¹=2" &at. -a₂+1=b, T. nofth りにn+1 とおくと 1ってなんです UP これまで漸化式として 等差数列型 a₁+1=b₁ 等比数列型 階差数列型 この3つの型に ることを考える。 さて、 +1 = pa+ 1~③のどれにも当て 必要がある｡ 等比数列型に帰着 ① において,g=0 変形し、数列{an- 比較列になるようにで a=b2-1 ① #anti-cp(c b1=a, 特別用を比較すると たとすると、②から c=pct 等比数列の公 b どのように導きます すなわち これは、① で aarty C したがって、につい たから に変形することができ に帰着することで なお、方程式 ④ を

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apa. 発 9798 100 例量 90 a=1, 62.j=20,+1 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 CHARI @ GUIDE® a.v=pa.tg型の漸化式 ac=pla.c) 変形 (cはc=pctg の解 ① cpctgを満たす。 を求め、漸化式を u-c=pla, c) の形に変形。 ②. とおき、(b)の一般項を求める。 ③ ..+c であることに注意して、数列{a.)の一般項を求める。 4st) 20+1 を変形すると よって、数列{bg) は公比2の等比数列で、初項は by=q,+1=1+1=2 ゆえに、数列{bg)の一般項は したがって、数列{an}の一般項は [別解 an+1=2a₂+1 ① においての代わりにn+1とすると 4242=20 2+1+1 0₂= a₁ +2²=1+ 4-1 整理して与式と ****** 一致することを確認 ba=2.21=2 a₂=2"-1 2(2-1) 2-1 Ques-4-2(a-0₂) よって、数列{a}の階差数列を {bg} とすると b₂+1=2bm ゆえに、数列(b)は公比2の等比数列で、初項は by=a,-a, =(20,+1)-4,=a+1=1+1=2 よって、数列{bg}の一般項は b₁=2.2*³=2" したがって。 n2のとき 2-1 この式に n=1 を代入すると =2-1=1 ゆえに、この式は=1のときにも成り立つ。 =2c+1 を解くと C=-1 まだ "an+ 1 = br 階差数列を利用 "して変形する。 式の意味 3-4 UP 教えて下 2 のとき a₂= a₁ +2b₂ これまで、漸化式として、次の 初項は特別扱い 2 なんで 等比数列型に帰着させる ra+1=6g で の代わ りにおく において、g=0 とする。 Ant 1 (2-c) (cl 比較列になるようにできない 等比数列型 数列型 n=1 とおくと なければなりなのですが たとすると、から この3つの型に当てはま ことを考える。 a₂+1 a= さて、anti = pan+q (pa のどれにも当てはまら 必要がある｡ とを比較すると ***** 1枚なわち c=pctg chi, au a, & ca したがって、 c についての1 に変形することができる。 そ 着することで、一般 なお、方程式 ④ を漸化式 数列型に帰着させることが 階差数列型に帰着させる ① において、 を[n+1に

5列目のAI:ID=BA:BDのところですが、なぜAI:IDが、BA:BDになるのか教えてください

三角形の内心の 基礎例題 28 △ABCにおいて, AB=6,BC=3,CA=4 とし、内心を1とする。と AB. AC で表せ。 CHARI & ② GUIDE 文三角形の内心の位置ベクトル 内心は,三角形の3つの内角の二等分線の交点である。 右の図の△ABCにおいて,∠Aの二等分線と辺BCの交点を Dとすると BD: DC = AB:AC である。 これを利用する。 角の二等分線と線分比の関係を利用 ■解答 △ABC の ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると BD:DC=AB:AC=3:2 よって AD= 2AB+3AC 5 また, BD=3X- 3 9 5 5 = であるから 9 5 AI ID=BA:BD=6: =10:3 よって AI-18AD=10×2AB+3AC Look. 5 = st! B 3 301+A0(8-01- 302+ÃO(2-1). A ←AB:AC=6:4 6-- D C 6 1/13AB+ / AC 13 B C ← [] 2AB+3AC 3+2 AI=. D ←直線 BIは∠Bの 線。 10 10+3 -AD

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2倍角・半角の公式を利用した等式の証明 基礎例題 130 :-) (1) 等式 -=tana を証明せよ。 (2) 3倍角の公式 sin3α=3sina-4sina を証明せよ。 t-tan CHARL & GUIDE 解答 sina+sin2a 1+cosa+cos2a 2 よって sina+sin2a 1+cosa+cos2a tana=tan 2. えに t≠±1) のとき,次の等式が成り立つことを証明せよ。 1-t² 1+t²¹ 2t 1+1², sina= sina (1+2cosa) cosa (1+2 cosa) | sin3a=sin (2α+α)= sin2acosa+cos2asina cosa= 2□を作って,2倍角の公式を活用 (23a2a+αとして, 加法定理と2倍角の公式を利用する。 sina+2sinacosa 1+cosa+2cos²a-1 (3) α=2mとして2倍角の公式を利用する。 まず tane, 次に cosaの 順に示す。 sina は sing=tanacosa を利用して示す。 =2sinacos'a+(1-2sina)sina =2sina (1-sin²a)+sina-2sin³a =3sina-4sin³a a 2 2 tan- sina cosa 2t a 1-t² sing=tanacosa= tang= 2 1+t2 基礎例題129 ①00 =tana 2t l-t -1= 2t 1² 2t If 1+t2 1+12 +cos 2a=2 cos³a-1 1-tan" = L+tan2 003 青ラインの式で、黄ラインの式の途中式呂 = 教えて下さい 1-1² ゆえに COSα= 1+1² 1+2 を用いると、分母の定数 1が消える。 等式の右辺には sinaの 3次の項があるから cos 2a=1-2sin'a を用いる｡ (3) cosa の別証明 ,2a 1-cosa 1+cosa tan²/2 = から

青で囲まれているところがわかりません。 2枚目がわたしの考えです。どうしたら1枚目のような計算になるのでしょうか？

STER 21 分数の数列の和 1013 2･4'4・6'6･8, [CHART GUIDE 第k項は 分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す を部分分数に分解する。 第k項 を利用して,各項を差の形に直して、求める和Sを書いてみる。 和を求める。 うまく消し合って和Sが求められる。 1 2k(2k+2) S=- ...... 1 25124 1/1 01 2k(2k+2) 4k k+1 1 2n(2n+2) = 2 3 1/1 1 +----+-- - ( - - - - - ₂ ) n n+1 CUBAS +･･････ + 87 ( (n+1)} + の和Sを求めよ。 と表されるから = 4 *S-(1-RS) -1 (1-1)-+-+1-4(n+1) = = - {(₁-X) + (-) + (-) ---> 2 3 残るのは 2-12-1 000 ◆部分分数分解につい 数学 ⅡI 参照。 1 (T-S)S +.(- 1 2.1×(2･1+ 2.4 s+sistl "S) == (1-12 n+1

テストが近くて分からなくて困ってます💦⚠️ （1）の-½がなぜ6分の7π、6分の11πになるかが全然分からくて進んでいません教えて下さい！！！

「基礎例題 105 三角関数を含む方程式 (1) 2002のとき, 次の等式を満たす0の値を求めよ。 (1) sin0 = 1 2 (2) cos0=- √30 2 CHART GUIDE SORA 1 (1) 直線y= 2 動径OP, OQの表す角であるから √√3 2 動径 OP, OQ の表す角であるから (2)直線x= (1) 7 67 T 三角方程式 単位円を利用 sina なら 直線y=aと円の交点 cosa なら 直線x=aと円の交点 tan0aなら (1, a) をとり、直線OTと円の交点に注目 点T ① 単位円をかき, 方程式の形に応じた直線と円の交点P, Qをとる。 ② 動径OP, OQ の表す角を求める。 11 6 T 2 解答 と単位円の交点を P Q とすると, 求める 0 は, TC 0= (3) T(13) をとり, 直線OT と単位円の交点を P, Qと 6 すると、求める, 動径 OP, OQの表す角であるから10000 0. /1x 0=7x, 11 x ☎ (1) √♬ √3 6 2 0 2 と単位円の交点を P, Q とすると 求めるは 0=76, 1/12 710 T 3'3 (2) 1/12/0 -1 15 22 三角関数を含む方程式 O 11 70 6 π 6 (3) tan0=√3 P. √√3 2 1x Q (3) √3 [発展例題 119] 1 P 4 T 33 10 2 00 (1), (2) 斜辺が1の三角 定規で考える。 1 2 P (3) 元 1661 1 T 61 0' 2 P T 3 1 1 2 √3 10 に答える。 ただし, nは整数