153の⑵のア ノートのようにといたらだめですか？

Date 3x3 (152) (1126=2212/2/logs/2/2 より大きい。よって 2/03223 1153 ・23底2はり大 3 1/ 3/09, 512 10:12 1002/588 1/2 x 4) 1 1093=17933 1legad=Pとおくと、W=h両辺を底とする対象をとると、 で Ploge a = loge for 2:2" a + 18% loge a to P=ca ②7/10M=tとおくと、an)=M(右)に代え Ploga: M = trsize (ar)² = M (130) 1² 1+ 2 flagaa t #loga a² = togah 5,2 1030 M 246 基本 例題 153 底の変換公式 0000 a, b, cは1以外の正の数, p=0, M> 0 のとき, 次の等式が成り立つことを 示せ。 (1) loga b= loge b (底の変換公式) logca 基本 例題 154 (1)次の式を簡 (10g2 (2) (ア) 10g10 (イ) 10g37= (2)ア)10gaM=10gaM (イ) logab.logc=10gac p.243 基本事項 CHART & SOLUTION 底の変換公式の証明 おき換えにより指数の関係式に (1) 10gab=かとおくと = b この両辺のc を底とする対数をとる。 (2)(1) で証明した底の変換公式を利用する。 解答 HART & 底の変換公式 (1) 底の変換公 (2) (条件の 5=10÷2 (イ) 底をす 10 (1) 10gab=p とおくと a=b <A=B(>0) plogca=logcb 両辺のcを底とする対数をとると logea=logeb すなわち logcA=log&B 解答 ここで, α≠1 より 10gca≠0 であるから この断りは必要。 (1) (与式)= 10gcb p= log.a したがって loga b= log.b log.a (2) (7) loga M= loga M loga M loga a p Lloga M (イ) logablog.c=logab. logac = logac ←底をαにそろえて (2) (ア) 10: loga b loga b で約分する。 31g 1 loga b = - INFORMATION 上の例題や下のPRACTICE で証明した等式 logoa' logab.log.c=logac などは,覚えておくと計算に便利である。 logi (1) b= よって PRACTICE 153º PRACTI (1)

数Bの黄チャートの例題32のところで、赤でマーカーを引いているところがどうしてこの式になるのかがわかりません。どこをどう変形してこうなったのでしょうか？解説よろしくお願いします🙇‍♀️

400 基本 例題 32 an+1=pan+g" 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求めよ。 a1=3, an+1=2an-3+1 309 CHART & SOLUTION 漸化式 an+1=pan+g" (カ≠1) 両辺を n+1で割る ② 両辺を+1で割る an+1P.ant. の形 bn=on とおくと bn+1=1/2but 1 2n+1 9 an+1 9 9 9" an q もの係数が1 an とおくと bn+1=1.6n+ +1/2 (%) bn=- の形 2 +1(2)" OH = +1 p" FRAF 答 an+1 2 an an+1=2an-3n+1 の両辺を 3"+1で割ると 3n+1 3 31 an bn=3 とおくと bn+1=120-1 00000 基本 29 30 ←の方針。 anpan+g型になる。 2 これを変形するとbn+1+3=1/2/3(bm+3) ta= /3α-1 を解くと a=-3 = また b.+32 +3-1233 +3=4 よって, 数列{bm+3} は初項4,公比 / の等比数列であるかb,+3=c, とおくと 2n-1 2\n-1 2 ら bn+3=4• ゆえに bn=4. Cn+1= -3 Cn 3 3 3) したがって an=3"bn=3.2n+1-3n+1 2\n-1 ←4· •3"=4.2"-1.3 (別解 An+1 2n+1 an 2n 3\n+1 an n-1 bn=b1+ 3 2 n =6-3•| 2-1 b1 = したがってan=2"b"=3.2"+1+1 であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。n=1 とすると PRACTICE 323 0-8-0 6-3- 33 2 201 an+1=2an-3n+1 の両辺を27+1で割ると 3+1 a b. = 127 とおくと but1 = b.(2/2)72 またbi=201212210m) の階差数列を (ca) よって, n≧2のとき 32/3\n-1 (3) 32 3 〒 とすると Cn=bn+1-bn=-()" 2n+1 2, 3・2"+1 JEN 別解 は2の方針。 階差数列の形になる。 3

この⑵のの問題なんですが、どうしたら➖➖➕のグラフだと分かるのでしょうか？？

(2) y=x-4x+1 CHART 次の類の補給を果 03-16x+18+5 SOLUTION 4次変数の 値とグラフ やブラフと同じ で進める。 となるのを求める 化を調べ、増減表を作る (1) y'-12x-48x+36x -12x(x-4x+3) =12x(x-1)(x-3) 10 とすると x = 0, 1,3 5 3 の増減表は次のようになる。 O 1 X **4 0 *** 1 3 20 + 0 0 + -22 極小 極大 極小 J' 7 5 10 -22 A のグラブ 1 CHART & プロが操り )がさ ただし、(1) らない(必要 MO f(x)=3x² f(x)はx= よって 逆に、この f(x)=0 /(x)の増 よって, yはx=0で極小値 5, x=1で極大値 10, x=3 で極小値 -22 をとる。 また、グラフは図のようになる。 y'=0 とすると (2) y'=4x-12x2=4x2(x-3) x=0,3 yの増減表は次のようになる。 x *** 0 *** 3 0 + 0 |1 3 x 2か所で極小となる z=y=4x²(x-3) フ D ZA 極小 y 1 -26 T よって, yはx=3 で極小値-26 をとる。極大値はない。 また,グラフは図のようになる。16 よって, f x=-1で また、① 条件より、 したがって よって 以上から En (2) の関数はx=0 において y'=0を満たすが、その前後でyの符号が変わらな すなわち, x=0のときの値は極値ではなく、この関数は極小値のみをもつ。 関数では,(2)のように極大値と極小値の一方のみをもつ場合がある。 RACTICE 1910 POINT

例題126の（2）からの話なんですけど，方程式➀の解の個数をどうやって求めたらいいかわかりません。 これを理解するにあたって前の分野から戻った方がいいなどのアドバイスがあれば遠慮なく教えてください，！！

UR D 例題 126 三角方程式の解の個数 要 ①0000 は定数とする。 (S02 のとき, 方程式 sinsin0aについて この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。 (1) (2) この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ。 CHART & SOLUTION 基本 125 方程式f(0)αの解 2つのグラフy=f(0),y=αの共有点・ sin0k (0≦0 <2π) の解の個数 k=±1で場合分け ··· ① 205 の個数はk =±1 のとき1個: -1 <k<1のとき2個; k<-1,1<んのとき0個 答 (1) sin20-sin0=a. ・① とする。 4章 sin0 = とおくと ただし、 002 e-ta から -15t51 (2) 16 ③ したがって、 方程式 ①が解をもつための条件は、 方程式 ② ③ の範囲の解をもつことである。 y=f-t [1] --[1] 2 y=a 2 方程式②の実数解は,y=f-t= [2]→ の 2 グラフと直線 y=αの共有点のt座標であるから, [3]- 021 右の図より 1/20 ≤a≤2 [4]→ [5] 4 三角関数のグラフと応用 (1)の2つの関数のグラフの共有点の座標に注目すると、 方程式 ① の解の個数は,次のように場合分けされる。 [1] α=2 のとき, t-1 から 1個 [2] 0<a<2 のとき, -1<t < 0 から 2個 [4]--> -[3] [3] α = 0 のとき, t = 0, 1 から 3個 [5] [4]- 27 [4] -1 <a<0 のとき,<<1/12 1/2<<1 2'2 ½<t<1 -[3] 0 π [2]2/ の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり, そ [1]/ れぞれ2個ずつの解をもつから t=sin 4個 [5] a=-1/12 のとき,1=1/23 から 2個 [6] a<-12<a のとき 0個 4' PRACTICE 126 a を定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数を -π<x≦z の範囲 で求めよ。 [類 大分大]

なぜ絶対値がつくのか教えてください！

基本 例題 93 何の位直関係 (1)円 Ci:x2+y^-6x-4y+9=0 と点 (22) を中心とする円 C2 が外接 している。円 C2 の方程式を求めよ。 [類名城大] (2)2つの円x2+y2=re (r>0) ・1, x2+y2-8x-4y+15=0 が共有点をもつようなの値の範囲を求めよ。 p.139 基本事項 4 CHART & SOLUTION 2つの円の位置関係 TRAH 2つの円の半径と中心間の距離の関係を調べる 半径がそれぞれ,r' である円の中心間の距離をとすると (1) 2つの円が外接する d=r+r' (2) 2つの円が内接する d=\r-r'\ よって, (1) と合わせて 解答 (1) 2つの円が共有点をもつ⇔|r-rlsd≦rtr は (x-3)2+(y-2)2=4 から, 中心 (3,2) 半径2である。 C2は中心が点 (-2, 2) であるから, 2つの円の中心間の距離dは d=√{3-(-2)}2+(2-2)=5 円 C1, C2 は外接しているから,C2の半径をr (0) とすると 2+r=5 よって r=3 ゆえに (x+2)2+(y-2)2=9 (2)円 ① は中心 (0, 0), 半径 r 円②は (x-4)2+(y-2)2=5 から, 中心 (4,2), 半径5である。 2つの円の中心間の距離は √4+2=√20=2√5 ※2つの円 ①,② が共有点をもつ条件は r-v5≦2√5≦r+√5 r-√5≦2√5 から 39-2√5≤r-√√5≤2√√5 (1) r=√5 剤 √5≦r...... ④ よって -√5≦x≦3√5 ...... ③ 2√5 ≦r+√5 から 0 r>0 と, ③ ④ の共通範囲を求めて r=35 (4,2) 3章 12 x 円 円 √√5≤r≤3√5 つのは、上の図から、放 RACTICE 93Ⓡ ある をもつから、 93 は 円 C:x+y2=5 と点 (24) を中心とする円 C2が内接している。 円C2の方程 式を求めよ。

⑵でノートのように考えたんですけどだめですか？

①はんこしのときにも成立 (2) andl = 3 + any "an= # + (n-1) 3 = $n = 1 antl 30m 9/17 1/14 (2) 401 20 基本 例題 33 分数型の漸化式 (1) 次の条件によって定められる数列{an)の一般項を求めよ。 1=3n-1 基本 29,30 an+1 (1) a₁ =1, 1-3x an 1 (2) a1= an an+1=- 4' 3an+1 A 1章 基本 29 CHART & SOLUTION 分数型の漸化式 逆数を利用 (2) 漸化式の両辺の逆数をとると an+1 an と定数項からなる式となる。 その式において,b=1mm とおくと既知の数列の漸化式となる。 an I とおくと an n≧2 のとき b=-=1から ai bn+1-bm=g"-18- n-1 bn=b₁+3k-1 k=1 3-1-1 3n-1+1 bn=1+- 3-1 2 b =1であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 ← 数列{bm} の階差数列の 一般項が 3-1 n=1 とすると 31 1 3°+1. とおくと 2 したがって an=- 3n-1+1 (2) a1= 1 ≠0,および漸化式の形から,すべての自然数n に対して an≠0 となる。 漸化式の両辺の逆数をとると -3-4-2-1-3 =3.2n+1 方針。 になる。 3an +1 数列{c.) An+1 an よって 1 An+1 1 =3+ an 1 an-bn ← α 0 なので α20, a2=0 ならば α3≠0 以下同様に考えて an≠0 であることがい える。 b.-- by とおくと bn+1=bn+3 an b1=4 であるから bn=4+(n-1)・3=3n+1 1 an= 3n+1 したがって るこ RACTICE 33 日 ar ←初項 b1==4, 公差3 の等差数列。 次の条件によって定められる数列{an)の一般項を求めよ。 1_1=3n-2 (1)=1, an+1 an an (2) a₁ = An+1=- 2' 4an +5 漸 化式

⑵のようにnが2以上と言っている時と違うときはなにがちがうんですか？

388 of 3 02/14× 重要 例題 26 分数の数列の和の応用 (1) 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 2 1 (1)- k=1 (2) (k+1)(k+3) 基本21 k=1√k+2+√k+1 CHART & SOLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化, 部分分数に分解 を利用 (1) 第k項の分母を有理化して差の形を作る。 (2)第項を部分分数に分ける。 解答 (1) 1 vk+2+√k+1 であるから √k+2-√k+1 (vk+2+√k+1)(√k+2-√k+1) vk+2-√k+1 = =√k+2-√k+1 (k+2)-(k+1) 重要 例題 27 分数 1 1 数列 1・2・32・3・4・ CHART & 基本例題 21 と方針は同 ただし,第 項は k SOLU 分数の数列の和 部分分数に分けて 第項の分母を有理化 する。 分母は (k+2)-(+1) =(k+2)-(k+1) 1 = √k+2+√k+1 = (√k+2−√k+1) k=1 =√3-√2)+(4-3)+(-4) =√n+2-√2 2 ++(n+1)+(n+2-n+1)第(n-1) 項は 1 であるから (2) (k+1) (k+3)= k +1 k +3 75345 n≧2 のとき k=1 2 (k+1) (k+3)=(k+1k+3) =(1/2)+(1/2)+(1/1) +1)+(2)+(13) n+2/ √n+1-√n ◆第k項を部分分数に分け る。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) と変形。 ◆消し合う項がはなれて いることに注意。 (2)のように分子が1でないとき 母の因数が3つの。 差の形で表すことが よって 1 k(k+1) 1 k(k+1 解答 第k項は k よって S= +1 = 1 1 2 + 13 n+3. 1 n(5n+13) 基本例②とは違うパターン。 n+2 n+3 6(n+2)(n+3) すでに差が 115 (7)(n+3) RACTICE 26° 分子にきている!(+))((+3)=xt-k+3 よって当なんかである 必要なし。いなら、立でわらないといけない) 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 (1) 2 +4 + k +3 1 k=vk+4+vk+3 2 (2)(k+2)(k INFORM 上の解答 はない。 形を導 の分解 数列の ORACT 数列・ 1

この問題は第一次導関数だけで考えちゃダメですかね

50 基本 例題 93 不等式の証明 (2) 00000 x>0 のとき, √1+x>1+1/2 8 1+1/2x-1/23x2 が成り立つことを示せ。 基本 92 CHART & SOLUTION 大小比較 差を作る 1 {f(x)-g(x)の最小値}>0 を示す ② 常に増加ならば出発点で 0 ③ f'(x) でわからなければf" (x) を調べる f(x)=√1+x(1+1/2x-1/28x2)としてf'(x) を求めても,f(x)の符号の変化を調べる は難しい (inf を参照)。 このような場合はf'(x) を求めてf'(x) の値の変化を調べる よい。 ③の方針 → 解答 f(x)=√1+x (1+1/x/1/22)とすると f(x)=241+(1/2/1/11) f" 2√1+x f(x)=-4(1+x)+/1/17 3 (√1+x)-1 4(v1+x) inf. f'(x) = 0 とす 1 = 1 1 -x 2√1+x 2 4x 2=(2-x)√1+x 両辺を2乗して整 2(x-3)=0 x>0 とすると x これは①を満たさ ゆえに,x>0の よって,x>0 のとき f" (x)>0 であるから,f'(x) は x≧0 f'(x)=0を満た で増加し f'(x)>f'(0) 在しない。 f'(0) = 0 であるから, x>0 f'(x)>0 したがって、f'(x ゆえに、f(x)はx≧0で増加し+1) において,連続で f(x)>f(0) H 常に正または負の ことになる。ここ f(0) = 0 であるから, x>0 のとき f(x)>0 (3)1/12 したがって √1+x>1+x-x² 2 82 から,x>0 のと f'(x)>0 である

この問題の解き方、解説をお願いします。 良ければ紙に書いて欲しいです。すみません。

※2であ 面積S 131,132 D2 217 00000 BC=10,CD=DA=3 であ 接する四角形の面積 (2) る。 このとき, 四角形ABCD の面積Sを求めよ。 CHART & SOLUTION 基本134 円に内接する四角形 対角線で2つの三角形に分割する ②四角形の対角の和は180° まず図をかいて, 1の方針に従い, 対角線 BD での分割を考える。 私は 180° ②からC=180°-A であることに注意して、2つの三角形でそれぞれ余弦定理を使って BD2を2通りに表し,cos A を求める。 cos A の値がわかれば sin A の値も求められる。 解答 四角形ABCD は円に内接するから C=180°-A △ABD において, 余弦定理により BD2=82+32-28•3cos A =73-48cOS A (1) △BCD において, 余弦定理により A 4年 3 8 D 會 A+C=180° 15 13 B IC 10 BD2=102+32-2・10・3cos (180°-A) =109+60cos A (2) ①,②から 73-48cos A=109+60cos A cos (180°-0)=-cose ←BD2 を消去した形。 2 よって 108cosA=-36 すなわち COS A=- 3 sin A > 0 であるから sinA= 1 Aを求めることはでき ないが, cos A を求める ことはできる。 3 3 Os C また よって S=△ABD+△BCD sin C = sin(180°-A)=sinA =1238-3sin A +1/2･10-3 sinc sin (180°-0)=sin0 2/2 =27sinA=27• =18√2 3 inf. 対角線 AC で四角形を分割して, 上と同様にすると cos B=- 73 が得られ, 89 sin B=1- 89 √1-(73)² = 36√2 となり,計算が煩雑になる。 89 PRACTICE 135 円に内接する四角形ABCD がある。 AB=4, BC=5,CD=7, DA = 10 のとき,四角 形ABCD の面積Sを求めよ。

①です。 問題で与えられたx=の式なのですが、分母が2乗+正の数だからx>0と考えられて、求めたい図形の範囲はx>0としたらだめなのでしょうか。

基本 例題 138 曲線の媒介変数表示 (3) 1 1+t, (1) x=1+F.y=1+F は媒介変数とする。 次の式で表される図形はどのような曲線を描くか。 00000 4t (2)x= 1+ y= 1+1 378 基本事項 1.基本136 CHART & SOLUTION 媒介変数で表されている曲線(分数式) 媒介変数を消去して, x, yだけの式へ 20 †をxで表してyの式に代入する方針では大変。ここでは、t=(x、yの式) としてtを消去する。ただし、除外点があるので要注意。例えば、(1)では =(x,yの式) (0.0) 点 解答 (1) x²------- ①, y=1+ F t ・①. ② とする。 ①を② に代入して y=tx x= 0 であるから た 20 【だか?これを①に代入してを消去すると これ 整理すると x(x-x+y^2)=0 x=0であるから x²-x+y2=0 よって (12/2)+1/ 円x なる x= ]= x= 1+ に 1 X X Ex 2式を比較しても at y=t- 1+2=6x とみることがポイント。 in 恒等式 1+22 x² を利用する解法もある x²+ y² x()ニメ (解答編PRACTICE 138 別を参照)。 円の方程式に x=0 を ただし, 点 (0,0)を除く。 1-2 移行して (2)x=- から 1+12 (1+1)x=1-t 代入すると y=0z よって (1+x)=1-xト 集 まとめた この式にx=-1 を代 x≠-1 であるから 1-x ① 代入したら成り立たなかった 1+x 入すると 02 となり、 不合理である。 4t また、 y=1+1² から 1+fy=2(1+x) ② ← ①から ①,②からを消去して {2+x=17 2(1+x)}²= === 1+f=1+1_x__2 1+x1+x ゆえに 4x2+y2=4 から よって 楕円=1 ただし、点(-1, 0)を除く。 楕円の方程式にx=-1 を代入するとy=0