考え方
296 漸化式 an+1=f(n)・an
=1,(n+3)an+1=nan で定義される数列{an}の一般項 αn を求めよ.
解答1 漸化式は an+1=
4
an+1=f(n)an となる.
ここで,
これをくり返すと,
解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan
DOD bn=(n+2)(n+1) nan とおくと, この式はbn+1=0となる.
解答1 漸化式を変形して,
このとき
an=
n
n+gan と変形できて,f(n)=+3 とおくと,
An+1=f(n)an=f(n){ƒ(n−1)an_1}=ƒ(n)ƒ(n − 1){ƒ(n−2)an-2}
an+1=f(n)f(n-1) f(n-2)......f(1)a1
az=
よって,
an+1=
n+2n+1
3
1
1+3a1²
n
n+3a
50=1/11
2
a3=
2+3 92=
4 のとき, ① をくり返し用いると,
n-1.n-2.n-3.n-4
-an
2
2+3 1+391 10
2
··1=
n+2n+1n
この式はn=1,2,3のときも成り立つ.
よって, an=
・①
4321
n_n-1 F7654
6
n(n+1)(n+2)
n(n+1)(n+2)
SOURON
解答2 漸化式の両辺に(n+2) (n+1)を掛けると,
(n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)
ここで,b=(1+2)(1+1) 16 より 16
bn=(n+2)(n+1) nan であるから,
(n+2)(n+1)nan=6
-a
an
I
and
***
n-1
n+2
a₁=1
n-1n-2
n+2n+1
-an-1
nan
REAVES (1)
x(n+1) an+1
bn=(n+2)(n+1) nan とおくと, ② は bn+1=bn となり, =(n+2)(n+1)nan
これはすべての自然数nに対して成り立つ.
したがって,
bn=bn-1=bn-2=......=b1
a=1
(n+3)(n+2)
-an-2
6
an=n(n+1)(n+2) Testo At
**R*12*10
(282,4)
