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重要 例題 164 三角形の面積の最小値
面積が1である△ABCの辺AB, BC, CA上にそれぞれ点D,E,F を
AD:DB=BE:EC=CF:FA=t: (1-f) (ただし, 0<<1) となるようにと
る。
(1) △ADF の面積をtを用いて表せ。
(2) △DEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
基本 158
指針 (1)辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと,
△ABCと△ADF は ∠A を共有していることに注目。
△ABC = = AB・ACsinA (=1),
AADF=AD AF sin A
(2) DEF=△ABC- (△ADF+△BED+△CFE) として求める。
Sはtの2次式となるから、基本形 α(t-b)+gに直す。
ただしtの変域に要注意!
解答
(1) AD=tAB, AF=(1-t) AC
であるから
AADF= AD AF sin A
=1/12/11(1-t) AB・ACsinA
1/A
2
AABC=
よって
-AB・ACsin A=1
(1) と同様にして
って
①st ABCを求めているのか
②なぜABC=1となるの
AADF=t(1-t). AB AC sin A
=t(1-t)
BtE
A
えに, 0<t<1の範囲において, Sは
・1-t
S=AABC-(AADF+ABED+ACFE)
1-t
F
=1-3t(1-t) = 3t²-3t+1=3(t-1)²+1"
MIDUAL
検討
=1/12 のとき最小値 1/4をとる。
E,F がそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
08-741
一般に
△AB'C'
△ABC
08 (*) 3t²-3t+1=3(t²-t)+1
ABED=ACFE (1-3(²-1 + ( 1 )}- 3 ( 1 ) ² + 1
SS=3f-3t+1
B
140
B'
AB'AC'
AB AC
A
C'
| 最小
C
