1番の解き方を教えて欲しいです

0 は (6+h). 2-a² (20+h ) 終 47 ラフにお 練習 4 この曲 以上をまとめると,次のことがいえる。 「接線の傾きと微分係数 た、直線l 関数 y=f(x) のグラフ上の点A(a, f (a)) における接線の傾き は, 関数f(x)のx =αにおける微分係数 f' (a) に等しい。 と積分法 関数 y=x2 のグラフ上の点(3, 9) における接線の傾きを求める。 f(x)=x2とすると m=f'(3) 例3 (1) より、f'(3) = 6 であるから m=6 関数 y = x2 のグラフ上の次の点における接線の傾きを求めよ。 (1)点(1,1) (2) 点 (-2, 4) (2)(24)

数学II、微分の問題についての質問なのですが、下の写真の赤ボールペンで線を引いたところの、f'(x)が、なぜそうすると式が成り立つのか分かりません。下のf'(x)を用いた定積分の式は、何を表しているのか教えて頂きたいです🙇‍♀️

346 重要 217 3次関数の極大値と極小値の差 0000 |関数f(x)=x6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、定数の 値を求めよ。 X=8で極小値をとるとすると ページの例題と同じ方針で進める。x=αで極大値 x= f(a) f(B)を実際に求めるのは面倒なので、f(α)(B)をα-Bat Bag 大値と極小値の差が4f(α)(B)=4 (B)-(+)-4αβ を利用することで, a+B, aBのみで表すことができる。 (x)=3x²-12x+3a 解答 f(x)は極大値と極小値をとるから 2次方程式(x)=0 すなわち3x12x+3a= 0 ...... ① は異なる2つの実数 解α, β (a<β) をもつ。 よって、 ①の判別式をDとすると D>0 D=(-6)~3(3a)=9(4-a)であるから4-0 4 したがって a<4...... ② f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=αで極大 x=βで極小となる。 f(a)-f(B)=(a³-ß³)-6(a²-B²)+3a (a-B) =(a-B){ (a2+αB+B2)-6(a+β)+3a} =(a-B){ (a+B)-αB-6(a+β)+3a} ①で,解と係数の関係より よって a+β=4, aβ=a a-B=-2√4-a (a-B)=(a+B)2-4aβ=42-4・a=4(4-a) <Bより、α-β< 0 であるから ゆえに f(α)-f(B)=-2√4-a (42-a-6・4+3a) 今回は差を考えるので、 x <βと定める。 α B... f'(x) + 0 (x) 極大極小 0 3次関数が極値をもつとき 極大値 > 極小値 ②から 4-a>0 よって√4-a>0 =2√4-a{-2(4-α)} =4(√4-a)³ 44-a=(√4-a)² f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 すなわち よって (√4-a)³=1 √4-a=1 Aa=1 の両辺を2乗し ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 て解く。 定積分を用いた計算方法 自 討 f(α)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 (a)-f(8)=f(x)dx=3(x-a)(x-B)dx=3{-1/(a-B)"} ←p.377 基本例題 240 (1) NE これにα-β-2√4-a を代入して,f(a)-f(B)=4(√4-a) となる。 の公式を利用。 関数f(x)=x+ax2+bx+c がx=αで極大値, x=βで極小値をとるとき, 17 f(a)-f(B)=1/2(B-a)となることを示せ。 [類 名古屋大]

等式の両辺をxで微分した時、左辺がf（x）の形になるのは何故ですか？？

応用 例題 次の等式を満たす関数 f(x) と定数 αの値を求めよ。 7 Saf(t)dt=x-3x+2)映画の分領事 考え方 等式の両辺の関数をxで微分する。 また αの値を求めるには, Saf(t) dt=0 を利用する。 解答 等式の両辺の関数を xで微分すると f(x)=2x-3 また, 与えられた等式で x=α とおくと, 左辺は0になるから 0=α²-3a+2 これを解いて a=1, 2 (x)f(x)=2x-3, a=1, 2 0章 微分法と積分法 10

(1)から(3)までの解き方を教えてください🙏

数学Ⅱ 【微分法・積分法】 総合問題 関数 f(x) = 2x2 + 4x-1について, 次の問いに答えよ。 (1)xの値が αから6まで変化するときの平均変化率を求めよ。 (2)xにおける微分係数を, 定義に従って求めよ。 (3) (1) の平均変化率と (2) の微分係数が等しいとき, pをaとbで表せ。

286の(1)で 自分はグラフの対象性を利用せずインテグラルの範囲を-1から1までで計算してx=tanθ置換する時に範囲を-1→1から3π/4→π/4にしたのですが計算したら-π/2と全く違う値になってしまいました。 恐らく置換する時の範囲の変え方が違うと思うのですが三角関... 続きを読む

第3節 積分法の応用 87 B 問題 285 座標平面上の2点P(x, 0), Q(x, sinx) を結ぶ線分を1辺とし,この平面に 垂直な正方形を作る。 Pが原点OからA(π, 0) まで動くとき,この正方形 が通過してできる立体の体積Vを求めよ。 292 教 p.176 応用例題 10 *286 次の曲線や直線で囲まれた部分が,[ ]内に与えられた直線の周りに1回転 してできる回転体の体積 Vを求めよ。 1 (1) y= 1+x2 , x=-1, x=1, x軸 [x軸] (2) y=log(1+x), y = 2, y軸 [y軸] 287 次の曲線で囲まれた部分が, x軸の周りに1回転してできる回転体の体積V を求めよ。 2 *(1) x² + 4 ye 9 :1 (2) x2+y2-4x=0 *288 球を平面で2つに切って, 2つの部分の体積の比が20:7 になるようにする にはどのように切ればよいか。

数学積分です。 (n-1)(In-2-In)のところまでは理解出来たのですが、そこからnIn=につながるのが理解できません。なぜこの式に変形できたのでしょうか？どなたか教えて頂きたいですm(*_ _)m

π In= = sin "rdr とおくとき,部分積分法を用いて, 2 In=n-11-2(≧3) を示せ. n 精講 入試では頻出テーマですが,「部分積分法を用いて」の部分 ないことが多いようです。 結果を覚えておく必要はありま 解答の流れは頭に入れておく必要があります. 解答 In= 2 π 2 sin"-x.sinxdx="sin"-¹x-(-cos x)' dx =|-sin" π 2 -[-sin-rcos.r] + (n-1) sin*~*r(sin.r) cos.rdr π S55 COS ]² √² 0 =(n-1)f sin"-2xcos'rdr π 2 =(n-1) f sin"-2x(1-sin'z) dr =(n-1) (In-2-In) ∴.nIn=(n-1) In-2 →合成関数の微分:62 -In (a-y よって,In=n-1 -Inn+I よって, In=n-1I-2 (n≧3) n

?の部分でなぜsin^2になるのですか、？

x>1におい よって、 1<a<c<bのとき f'(a)<fle ゆえに -=f'(c)(b-a) log b log a [I 31-e³ すな "dz=n 薬 23定積分 Example 23 ***** 自然数nに対し, In = cosxdx とするとき, 次の問いに答えよ。 (1)とそれぞれ求めよ。 (2) 自然数nに対し, In+2 を In で表せ。 (3) Ig で表せ。 [21 岩手大] ★★★★★ 119 次の定積 (1) S sin' (3) Soext- (5)Sill0g ME (1) = "" cosxdx-sinx=1 (1+cos2x)dx 1- cos'x dx=(1+cos =1/2x+1/12/sin2x=4 (2) In+2=2COS+2xdx=2(sinx)' cos”+1xdx [★★★★☆] 120α, B は となるの 121 (1) m (2)不定 (3) n Key 部分積分法によ ★★☆★☆★ =sinxcos**x] +(n+1) sin®x cosxdx り, In+2 を計算すると In, In+2 が現れる。 I =(n+1)(1-cos x) cos"x dx =(n+1)(In-In+2) よって したがって (n+2)In+2=(n+1)In In+2=n+1In (3)(2)の結果を用いると n+21 75 18=- = 86 256 よって π= 35 Key (2) の結果を繰り が成 (4)定 35 返し用いる。 -π 753 7.53 12= 864 8 6 4 4 256 Practice 23 ★★★☆☆ n=0, 1, 2, ...... に対し, In=Sxelaxdx とする。 (1)の値を求めよ。 (2)n≧1 のとき, In と In-1 の間に成り立つ関係式を求めよ。 (3) I3 の値を求めよ。 (4) JEB) *(sinxco (4)定積分 (sinxcosx) e3sinxdxの値を求めよ。 48 ++ VI ★☆★☆★ 122 ★★★☆☆ S 123 f (1) [類 19 摂南大〕

最後の一行の蛍光ペンのところの文ってどうして必要なのですか？

重要 例題166 定積分と和の極限 (3) ・対数の利用 00000 [防衛医大 基本144) 限値 lim 1 (4n)! nn V (3n)! を求めよ。 指針 まず, 1/(4n)! を簡単にすることを考える。 α 1 (An)! nV (3n)! nV (3n)! とすると 3n (371)...･･2･1 an- 1 An(An-1).(3n+2)(3n+1)+3n(3n-1)........2.1 n =1/12 ((3n+1)(3n+2) (3n+n-1)(3n+n)) n An=3n+nと考える。 更に、両辺の対数をとると, 積の形を 和の形で表すことができるから, lim (7)=S,f(x)dx を利用して,極限値を求める。 n→∞ ni なお, 関数10gxはx>0で連続であるから よって, liman=α が存在するなら 811 例題 重要 例 16 長さ2の線分A 等分する。 (1) AAPBO よ。 (2) 極限値 α = る。 指針 lim(logx) = loga log と lim xα lim (logan)=log (liman 交換可能 818 (1) 線分 よっ (2)求 SSC an= 解答 n (4n)! とすると √ (3n)! 1 (3n+1) (3n+2) (3n+n)} n(3+)(3+)(3+) (1) 線ケ 解答 よっ ゆえ an= = n //{(3+/-) (3+)(3+7) 1.(d(3+1/2)(3+/-)(3+n)} =(3+/-)(+) (+) よって, 両辺の自然対数をとると ◄ (n")=n 110g(3+1/2)+10g(3+/2/2)+10g(3+1/72)}=171210g(3+4) -log(3+ lim(logan)=log(3+x)dx=(3+x)'10g(3+x)dx logan=- n ゆえに 11-00 = 1 (3+x)log(3+x )]-f(3+x)3+x 44 =4log4-3log3-1=10gge =log- 関数10gxはx>0で連続であるから した (2)c -dx 部分積分法。 256 27e 256 liman= lim (loga.) = log(lima. 8+U 27e 練習曲 ③ 167 練習 数列 an = ④ 166 n² 7/4 P2n (n=1,2,3, ･･････) の極限値 lima” を求めよ。 12-00 [ 東京理科大)

この計算のやり方教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

2 So" (2x-1)** dx

この問題についてです。dx/dθだけ求めてグラフを書けるのはなぜですか？dy/dθを求める必要はないのでしょうか？

16 重要 例 191 極方程式で表された曲線と面積 00000 極方程式 r=2(1+cos) (0ses)で表される曲線上の点と極Oを結んだ線 分が通過する領域の面積を求めよ。 指針 極方程式=f(6) を直交座標の方程式に変換して考える。 極座標 (r, 6) と直交座標 (x, y) の変換には、 関係式 ・基本 182. 数学 Cp.303 参考事項 x=rcos0=f(0) cos 0, y=rsin0=f(0)sino を用いて, x,yを0で表す。 →x,yが媒介変数日で表されるから,基本例題182と同様に置換積分法を用いて 計算する。 曲線上の点をPとし、点Pの直交座標を (x, y) とすると 解答 x=rcos0=2(1+cos 0 ) cos 0 y=rsin0=2(1+cos 0)sin0 6=0 のとき (x,y)=(4,0), 0= 6=1/2のとき (x,y)=(02) において y≧0 x,yを0で表し、 まずは 曲線の概形を調べる。 dx また =2(-sin)・cos0+2(1+cos6)・(-sin) de =-2sin0(1+2cos0 ) dx 0< 001のとき、 < 0 である y4 0= 注意 y は 0 = 1/35 におい から, 0に対してxは単調に減少 r=2(1+cos) 2 0=0 する。 10 よって, 求める図形の面積は, 右 て極大となるが,解答では, | 面積を求めるために必要な, 図形の概形がわかる程度に 調べればよい。 の図の赤く塗った部分である。 0 xと0の対応は右のようになるか ら, 求める面積をSとすると s=Sydx dx x 0 → 4 →0 ここで ded do -S2(1+cosd)sino・(-2sin0)(1+2cos0)de =4f (sin°0+3sin'@cos0+2sin°Ocos"0)d0 Sain³ Øde-1-cos 20 do sin20d0= 2 = [sin 201 = 置換積分法。 dx ひも も0の式で表 do されるから 0での定積 分にもち込む。 半角の公式。