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● 12 絶対値つき関数/折れ線 (文字定数入り)
f(x)=x+2|+|-3|+|x-a| とする. 次の問いに答えよ.
(1) αを定数とするとき、関数y=f(x) の最小値をα を用いて表せ。
(2) (1) での最小値が6となるようなαの値を求めよ.
(中部大・ 応用生物)
折れ線の増減は傾きで 前問で述べたように, f(x) の増減は,各範囲の傾きを追いかけることで
とらえることができる。
前間で述べたように, y=f(x)のグラフは1本の折れ
折れまがる点のx座標の大小で場合分け
線であり,折れまがる点の座標は, x=-2, 3, αである. 前問の(1)から分かるように、折れまがる
点のいずれかで最小となる. よって,αと2,3との大小で場合分けが必要である.
■解答量
(1) αと2,3との大小で場合分けをする.
1° a<-2 のとき,a<x<-2の範囲では、3つの
絶対値の中身の1つが正で, 2つが負であるから,
絶対値記号をはずして得られる1次の係数(傾き)
は-1である. 同様に各範囲について, 傾きを求
めると右表のようになるから, x=-2で最小値
をとる. よって,
|-3|=-(x-3)
|x-a|=r-a
I
a -2 3
a<x<2では,
傾き -3 -1 1
3
|x+2|=-(x+2)
y
-2 (a) 3
となる.
m=f(-2)=0-(-2-3)+(-2-a)=3-a
2°-2≦a≦3のとき, 同様に=αで最小で,
m=f(a)=(a+2)-(α-3)+0=5
y
-1-120-2
3° 3 <αのとき, -2 <3 <αであるから, 同様にx=3で最小で,
m=f(3)=(3+2)+0-(3-4)=α+2
x
-2
a
(2) (1)の1か3°のときである. よって,
y
)×
2
「α <-2 かつ3-46」 または 「3<a かつα+2=6」
α-3 または α=4
注 a=-2,α=3のときは,下のようになる.
a=2のとき
a=3のとき
f(x) =2x+2|+|r-3|
f(x)=|x+2/+2|z-3|
I
-23
I
-2 3
傾き -3 1
3
傾き -3 -1 3
y
y
V
12 演習題(解答はp.27 )
a,b,cは定数でα<b<c を満たすものとする. 関数f(x) を
f(x)=x-a|+|r-b|+|x-c|で定める。
(1)ェがすべての実数を動くとき, 4x+3f(x) の最小値を求めよ.
1+0-2
←α=-2のときのグラフは下図.
y+
10-
-5
0
3
(2)ェがすべての実数を動くときのf(x)の最小値が18で,f(c)=32のときb,cを
で表せさらにf(-12)=25のときを求めよ.
(上智大経)
(1) 安直にェ=bで最
小としないように.
(2) αを出すところも
グラフを使いたい。
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