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ついて整理
重要 例題100 分数関数をn回合成した関数
x=1,x=2のとき, 関数 f(x)= 2x-3
x-1
f(x)=f(f(x)), fa(x)=f(fz(x)), .....,
このとき, fz(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。
解答
指針 fn(x) を求めるには, fz(x), f(x),
この問題では, (fofr)(x)=x, つまり fari(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから、
と順に求めて、その規則性をつかむ。
fn(x)はx, f(x), fz(x), ......, fn(x) の繰り返しとなる。
なお, fz(x), f(x),
と順に求めた結果, fn(x)の式が具体的に予想できる場合は,
予想したものを数学的帰納法 (数学B) で証明する。という方針で進めるとよい (→下
の練習 100)。
f(x)=f(f(x))=2f(x)-3
よって
f(x)-1
_2(2x-3)-3(x-1)
2x-3-(x-1)
fs(x)=f(fz(x))=
2･
x-3
x-2
x-3
x-2
2(x-3)-3(x-2)
x-3-(x-2)
=
=
-1
について,
-3
2.
=x
n=3mのとき fn(x)=x;
fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする。
基本 98
2x-3
x-1
2x-3
x-1
x-3
x-2
程式 6
◯方が多い。
いて, a.ko
ることができ
値が⑤.⑥t
忘れずに観ゆえに,fn(x)=fn-3(x) [n≧5] が成り立つ。
すなわち, m を自然数とすると
f(x)=f(f(x))=f(x),
f(x)=f(f(x))=f(f(x))=fz(x),
f(x)=f(fs(x))=f(fz(x))=f(x),
--3
-1
n=3m+1のとき fn(x)=2x-3;
x-1
n=2,3m+2のとき fn(x)=x-3
x-2
171
分母・分子にx-1 を掛け
る。
分母・分子にx-2 を掛け
る｡
恒等関数。
f(x)=f(x),
f(x)=fz(x),
f(x)=f(x),
3章
3 逆関数と合成関数
の関数f(x)=ax+1 (0<a<1) に対し, f(x)=f(x), fz(x)=f(fi(x)),
13
f(f(x)) [n≧2] とするとき, fn(x) を求めよ
