aは正の定数とし,2次関数f(x)=x°-2ax+2a (0ハx^2)の最小値を,
場合分けされたaの値の範囲で求めた m(a) に対し, b=m(a) のグラフを考えることで、
OO000
指針>関数のグラフ (下に凸の放物線)の軸は直線x=aであるが, aのとる値によって軸の位量
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基本 例題81 最大値, 最小値を関数ととらえる問題
: mla)と
する。このとき,m(a) の最大値とそのときのaの値を求めよ。
【富山県大)
墓本79
X=a
が変わる。最小値を考えるから,軸x=aと区間0ミxミ2の位置関係を調べる
本間では, a>0 であるから, 軸が区間の 内,右外 の場合に分けて考える
ac0のをきは
調べなとと良い
m(a)の最大値を求める。
解答
(まず,基本形に直す。
関数の式を変形すると
f(x)=(x-a)°-a+2a
ソ=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=a
[1] 0<aS2のとき
小景
図[1] から, x=aで最小となる。
f(a)=-α°+2a
(軸が区間の内
a>0であるから,軸が区
間の左外は調べなくてよい。
最小値は
[2] a>2のとき
図 [2] から, x=2 で最小となる。
(軸が区間の右外
さ
最小値は
f(2)=-2a+4
+%3D
|軸
最小
最小
x=0 x=a x=2
x=0 x=2 x=a
-a+2a (0<a<2)
[1], [2] から
m(a)=
-2a+4(a>2)
-a+2a=-(a-1)+1
ここで
ゆえに,b=m(a)とすると, そのグ
ラフは右の図の実線部分のようにな
46
40<aS2において,
6=m(a)のグラフは上
凸の放物線で,軸は直線
a=1, 頂点は点(1, 1)
ある
る。
したがって, m(a) は a=1 で最大
小景
小郡
1
0
2
値1をとる。
1
AS
