★★☆☆
特講
例題 121 ガウス記号を含む方程式
次の方程式を解け。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。
(1) [2x] = 3
(2) [3x-1] = 2x
(3) [2x]-[x] = 3
★★★☆
ReAction ガウス記号は,n≦x<n+1 のとき [x] = 〃 として外せ 例題120
(1), (2) はガウス記号が1つ[x]=nのときn≦x<n+1 として外す
(3)はガウス記号が2つ
場合に分ける
42227=2
TT [x]
幅1ごとに値が変わる
一般にこの部分で考えてみる
-1
0
3
1
x
2
n
[2x] =>
n+12/2
n+1
3
幅ごとに値が変わる
(ア)(イ)
0
2次関数と2次不等式
11 [2x] =3より, 3≦2x < 4 であるから
32
(2)[3x-1] = 2x ① より, 2x は整数である。
①より 2x≦3x-1 <2x+1
これを解くと 1≦x<2
≦x<2
xであり、2xは整数より 2x=2,3
3
よって x=1,
2
(3) [2x]-[x]=3…② とする。
(ア)n≦x<nt 1/2(nは整数)のとき
方程式の解は,不等式で
表される範囲になる。
[3x-1] は整数である
から, 2x も整数になる。
2x3x-1 より
|3x-1<2x+1 より
x < 2
x≧1
xを幅 1/2で場合分けす
2n≦2x<2n+1 であるから
[2x] = 2n
る。
また,[x] = nであるから,②は2
|2n-n=3
よって n=3
ゆえに 3≦x<
2
1
(イ) n+ ≦x<n+1(n は整数)のとき
2
2n+1≦2x2n+2 であるから [2x] =2n+1
また, [x] = nであるから,②は (2n+1)-n=3
よって
ゆえに
n = 2
52
(ア)(イ)より
≦x<3
5
2017/
121 次の方程式を解け。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。
(1) [3x] =1 (2) 2x = [√5] (3) [2x+1]=3x (4) [3x]-[x]=1
220
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